九州大学 2023年度理系数学第2問解答・解説

問題

$α$ を実数とする。数列 ${a_{n}}$ が

a_{1} = α, a_{n + 1} = ∣ a_{n} - 1∣ + a_{n} - 1 (n = 1, 2, 3, \dots\dots)

で定められるとき，以下の問いに答えよ。

(1) $α ≦ 1$ のとき，数列 ${a_{n}}$ の収束，発散を調べよ。

(2) $α > 2$ のとき，数列 ${a_{n}}$ の収束，発散を調べよ。

(3) $1 < α < \frac{3}{2}$ のとき，数列 ${a_{n}}$ の収束，発散を調べよ。

(4) $\frac{3}{2} ≦ α < 2$ のとき，数列 ${a_{n}}$ の収束，発散を調べよ。

出典：九州大学 2023年度前期日程一般選抜理系第2問

方針

解法1（標準解法）

絶対値を外すと、 $a_{n} ≧ 1$ なら $a_{n + 1} = 2 a_{n} - 2$ 、 $a_{n} < 1$ なら $a_{n + 1} = 0$ である。したがって、一度 $1$ 未満になれば次の項からずっと $0$ になる。各 $α$ の範囲で、初期値がすぐ $1$ 未満へ落ちるか、 $a_{n} - 2$ が倍々に増えて発散するか、または有限回後に $1$ 未満へ落ちるかを判定する。

解法2（固定点2からのずれを追う方法）

写像 $F (x) = ∣ x - 1∣ + x - 1$ は $x ≧ 1$ で $F (x) - 2 = 2 (x - 2)$ ， $x < 1$ で $F (x) = 0$ である。軌道が $1$ 以上にある間は $a_{n} = 2 + 2^{n - 1} (α - 2)$ と明示できるので， $α < 2$ では有限回後に $1$ 未満へ落ち， $α > 2$ では増大することを一つの式で判定する。

解答

解法1（標準解法）

まず漸化式を場合分けする。 $a_{n} ≧ 1$ のときは $a_{n + 1} = ∣ a_{n} - 1∣ + a_{n} - 1 = 2 a_{n} - 2$ であり、 $a_{n} < 1$ のときは $a_{n + 1} = ∣ a_{n} - 1∣ + a_{n} - 1 = (1 - a_{n}) + a_{n} - 1 = 0$ である。特に、一度 $a_{n} < 1$ となれば、その次から $0$ が続く。

(1)

$α ≦ 1$ のとき、 $a_{1} = α ≦ 1$ である。 $α < 1$ なら上の後半の場合から $a_{2} = 0$ であり、 $α = 1$ でも $a_{2} = 2 \cdot 1 - 2 = 0$ である。以後は $a_{n} = 0$ が続く。したがって数列は $0$ に収束する。

(2)

$α > 2$ とする。 $a_{n} > 2$ なら $a_{n} ≧ 1$ なので $a_{n + 1} = 2 a_{n} - 2$ であり、 $a_{n + 1} - 2 = 2 (a_{n} - 2)$ である。 $a_{1} - 2 = α - 2 > 0$ だから帰納的に $a_{n} - 2 = 2^{n - 1} (α - 2)$ となる。よって $a_{n} \to + \infty$ であり、数列は正の無限大に発散する。

(3)

$1 < α < \frac{3}{2}$ のときは $a_{1} ≧ 1$ なので $a_{2} = 2 α - 2$ である。この範囲では $0 < a_{2} < 1$ となる。したがって $a_{3} = 0$ であり、以後も $0$ が続く。よって数列は $0$ に収束する。

(4)

$\frac{3}{2} ≦ α < 2$ とする。 $a_{n} ≧ 1$ である間は $a_{n + 1} = 2 a_{n} - 2$ である。そこで $b_{n} = a_{n} - 1$ とおくと、この間は $b_{n + 1} = a_{n + 1} - 1 = 2 a_{n} - 3 = 2 b_{n} - 1$ である。この漸化式を解くと $b_{n} = 1 - 2^{n - 1} (2 - α)$ となる。実際、 $b_{1} = α - 1 = 1 - (2 - α)$ であり、上の式は漸化式 $b_{n + 1} = 2 b_{n} - 1$ を満たす。

ここで $2 - α > 0$ であるから、 $2^{n - 1} (2 - α)$ はいくらでも大きくなる。したがって有限回のうちに $b_{n} < 0$ 、すなわち $a_{n} < 1$ となる。すると次の項は $0$ になり、以後も $0$ が続く。よってこの場合も数列は $0$ に収束する。

解法2（固定点2からのずれを追う方法）

写像

F (x) = ∣ x - 1∣ + x - 1

は

F (x) = {2 x - 2 0 (x ≧ 1), (x < 1)

である。したがって一度 $a_{n} < 1$ となれば $a_{n + 1} = 0$ となり，以後はすべて $0$ である。

$a_{k} ≧ 1$ が続く間は

a_{k + 1} - 2 = 2 (a_{k} - 2)

だから

a_{n} = 2 + 2^{n - 1} (α - 2) (1)

である。

(1)

$α < 1$ なら直ちに $a_{2} = 0$ ， $α = 1$ でも $a_{2} = 0$ である。よって $0$ に収束する。

(2)

$α > 2$ なら (1) は常に $2$ より大きく，

a_{n} = 2 + 2^{n - 1} (α - 2) ⟶ + \infty.

よって正の無限大に発散する。

(3)

$1 < α < 3/2$ では

a_{2} = 2 α - 2 < 1

だから $a_{3} = 0$ となり，以後も $0$ である。よって

a_{n} ⟶ 0

である。

(4)

$3/2 ≦ α < 2$ とする。 $2 - α > 0$ なので

2^{N - 1} (2 - α) > 1

を満たす自然数 $N$ が存在する。そのような最小の $N$ をとると， $k < N$ では (1) の値が $1$ 以上であるから漸化式を適用でき，

a_{N} = 2 - 2^{N - 1} (2 - α) < 1

となる。よって $a_{N + 1} = 0$ であり，以後も $0$ である。

したがって

a_{n} ⟶ 0

である。

九州大学 2023年度理系数学 第2問

問題

方針

解法1（標準解法）

解法2（固定点2からのずれを追う方法）

解答

解法1（標準解法）

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2（固定点2からのずれを追う方法）

(1)

(2)

(3)

(4)

九州大学 2023年度
理系数学第2問