方針
絶対値を外すと、an≧1 なら an+1=2an−2、an<1 なら an+1=0 である。したがって、一度 1 未満になれば次の項からずっと 0 になる。各 α の範囲で、初期値がすぐ 1 未満へ落ちるか、an−2 が倍々に増えて発散するか、または有限回後に 1 未満へ落ちるかを判定する。
解答
まず漸化式を場合分けする。an≧1 のときは an+1=∣an−1∣+an−1=2an−2 であり、an<1 のときは an+1=∣an−1∣+an−1=(1−an)+an−1=0 である。特に、一度 an<1 となれば、その次から 0 が続く。
(1) α≦1 のとき、a1=α≦1 である。α<1 なら上の後半の場合から a2=0 であり、α=1 でも a2=2⋅1−2=0 である。以後は an=0 が続く。したがって数列は 0 に収束する。
(2) α>2 とする。an>2 なら an≧1 なので an+1=2an−2 であり、an+1−2=2(an−2) である。a1−2=α−2>0 だから帰納的に an−2=2n−1(α−2) となる。よって an→+∞ であり、数列は正の無限大に発散する。
(3) 1<α<23 のときは a1≧1 なので a2=2α−2 である。この範囲では 0<a2<1 となる。したがって a3=0 であり、以後も 0 が続く。よって数列は 0 に収束する。
(4) 23≦α<2 とする。an≧1 である間は an+1=2an−2 である。そこで bn=an−1 とおくと、この間は bn+1=an+1−1=2an−3=2bn−1 である。この漸化式を解くと bn=1−2n−1(2−α) となる。実際、b1=α−1=1−(2−α) であり、上の式は漸化式 bn+1=2bn−1 を満たす。
ここで 2−α>0 であるから、2n−1(2−α) はいくらでも大きくなる。したがって有限回のうちに bn<0、すなわち an<1 となる。すると次の項は 0 になり、以後も 0 が続く。よってこの場合も数列は 0 に収束する。
別解
解法2（固定点2からのずれを追う方法）
方針
写像 F(x)=∣x−1∣+x−1 は x≧1 で F(x)−2=2(x−2)，x<1 で F(x)=0 である。軌道が 1 以上にある間は an=2+2n−1(α−2) と明示できるので，α<2 では有限回後に 1 未満へ落ち，α>2 では増大することを一つの式で判定する。
解答
写像F(x)=∣x−1∣+x−1はF(x)={2x−20(x≧1),(x<1)である。したがって一度 an<1 となれば an+1=0 となり，
以後はすべて 0 である。
ak≧1 が続く間はak+1−2=2(ak−2)だからan=2+2n−1(α−2)(1)である。
(1)
α<1 なら直ちに a2=0，α=1 でも
a2=0 である。よって 0 に収束する。
(2)
α>2 なら (1) は常に 2 より大きく，an=2+2n−1(α−2)⟶+∞.よって正の無限大に発散する。
(3)
1<α<3/2 ではa2=2α−2<1だから a3=0 となり，以後も 0 である。よってan⟶0である。
(4)
3/2≦α<2 とする。2−α>0 なので2N−1(2−α)>1を満たす自然数 N が存在する。そのような最小の N をとると，
k<N では (1) の値が 1 以上であるから漸化式を適用でき，aN=2−2N−1(2−α)<1となる。よって aN+1=0 であり，以後も 0 である。
したがってan⟶0である。
総評
絶対値付き漸化式を一次写像の反復として分類する問題。目安時間は18〜22分。最初に an≧1 と an<1 で写像を分け、「1 未満になったら次から 0」という吸収状態を押さえると全体が見える。α>2 だけは an−2 が2倍ずつ増えるため発散し、23≦α<2 では有限回後に 1 未満へ落ちることを式で示すのが採点上の要点である。 場合分けによる標準解法に加え，固定点2からのずれ an−2 を追う統一的な方法を示した。1<α<2 では有限回後に 1 未満へ落ちることを最小の到達時刻で厳密に確認した。
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出典: 九州大学 令和5年度一般選抜（前期日程）数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。
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