九州大学 2023年度 前期日程 一般選抜理系数学 第5問

(1) $$x=t+2{\sin }^{2}t,y=t+\sin t$$ であるから $$\frac{dx}{dt}=1+4\sin t\cos t=1+2\sin 2t$$ である。$y$ 軸と平行な接線をもつためには $$\frac{dx}{dt}=0$$ が必要である。よって $1+2\sin 2t=0$ すなわち $\sin 2t=-\frac{1}{2}$ を解く。$0<t<\pi$ より $0<2t<2\pi$ なので、$$2t=\frac{7\pi }{6},\frac{11\pi }{6}$$ である。したがって $$t=\frac{7\pi }{12},\frac{11\pi }{12}$$ の2つが候補である。

また $$\frac{dy}{dt}=1+\cos t$$ であり、$0<t<\pi$ では $1+\cos t\mathrm{\ne }0$ である。したがってこれら2点では実際に鉛直接線をもつ。よって、$y$ 軸と平行な接線は $2\text{本}$ である。

(2)
まず $$x-y=2{\sin }^{2}t-\sin t=\sin t(2\sin t-1)$$ である。$0<t<\pi$ では $\sin t>0$ だから、$y\leqq x$、すなわち $x-y\geqq 0$ となるのは $\sin t\geqq \frac{1}{2}$ のときである。したがって対象となる曲線部分は $$\frac{\pi }{6}\leqq t\leqq \frac{5\pi }{6}$$ である。この両端では $x=y$ となり、曲線は直線 $y=x$ と交わる。

曲線部分を $$t=\frac{\pi }{6}$$ から $$t=\frac{5\pi }{6}$$ まで進み、直線 $y=x$ 上を戻る閉曲線を考える。直線上では $y=x$ であるから、媒介変数表示の面積公式を用いると、求める面積 $S$ は $$S={\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{5\pi }{6}}(x-y)\frac{dx}{dt}dt$$ で与えられる。これは、直線部分の寄与を合わせると $\int xdx$ が端点で打ち消されるためである。

したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{5\pi }{6}}\{\sin t(2\sin t-1)\}(1+4\sin t\cos t)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{5\pi }{6}}(2{\sin }^{2}t-\sin t)dt+{\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{5\pi }{6}}(8{\sin }^{3}t\cos t-4{\sin }^{2}t\cos t)dt}\end{array}$$である。第2の積分は ${[2{\sin }^{4}t-\frac{4}{3}{\sin }^{3}t]}_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{5\pi }{6}}$ であり、両端で $\sin t=\frac{1}{2}$ なので $0$ になる。

一方、$$2{\sin }^{2}t-\sin t=1-\cos 2t-\sin t$$ であるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={[t-\frac{1}{2}\sin 2t+\cos t]}_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{5\pi }{6}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}$$である。よって求める面積は $\frac{2\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$ である。

直線 $y=x$ を新しい $u$ 軸にするため $u=(x+y)\mathrm{/}\sqrt{2}$，$v=(x-y)\mathrm{/}\sqrt{2}$ とおく。対象部分では $v\geqq 0$ で，面積は $\int vdu$ になる。端点で $x-y=0$ なので，微分の全微分項が消え，計算は $\int (2{\sin }^{2}t-\sin t)dt$ に簡約される。

(1) $$\frac{dx}{dt}=1+2\sin 2t,\frac{dy}{dt}=1+\cos t\mathrm{.}$$鉛直接線の条件は $dx\mathrm{/}dt=0$ である。$0<t<\pi$ で$$\sin 2t=-\frac{1}{2}$$を解くと$$t=\frac{7\pi }{12},\frac{11\pi }{12}\mathrm{.}$$この範囲では $dy\mathrm{/}dt=1+\cos t>0$ だから，どちらも実際に鉛直接線を与える。
よって$$2\text{本}$$である。

(2) $$x-y=\sin t(2\sin t-1)$$であり，$0<t<\pi$ では $\sin t>0$ だから，$y\leqq x$ となるのは$$\frac{\pi }{6}\leqq t\leqq \frac{5\pi }{6}$$である。両端では $x=y$ となる。

座標を45度回転して$$u=\frac{x+y}{\sqrt{2}},v=\frac{x-y}{\sqrt{2}}$$とおくと，直線 $y=x$ は $v=0$ であり，求める面積は$$S={\int }_{\pi \mathrm{/}6}^{5\pi \mathrm{/}6}v\frac{du}{dt}dt=\frac{1}{2}{\int }_{\pi \mathrm{/}6}^{5\pi \mathrm{/}6}(x-y)(x^{\mathrm{\prime }}+y^{\mathrm{\prime }})dt\mathrm{.}$$ここで$$\frac{1}{2}(x-y)(x^{\mathrm{\prime }}+y^{\mathrm{\prime }})=(x-y)x^{\mathrm{\prime }}+\frac{1}{4}\frac{d}{dt}(x-y{)}^2\mathrm{.}$$両端で $x-y=0$ だから，全微分項の積分は0である。よって$$S={\int }_{\pi \mathrm{/}6}^{5\pi \mathrm{/}6}(x-y)x^{\mathrm{\prime }}dt\mathrm{.}$$$s=\sin t$ と略記すれば$$(x-y)x^{\mathrm{\prime }}=(2s^2-s)(1+4s\cos t)\mathrm{.}$$第2項は$$(2s^2-s)4s\cos t=\frac{d}{dt}(2s^4-\frac{4}{3}{s}^3)$$であり，両端で $s=1\mathrm{/}2$ なので積分すると0になる。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{\pi \mathrm{/}6}^{5\pi \mathrm{/}6}(2{\sin }^{2}t-\sin t)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[t-\frac{1}{2}\sin 2t+\cos t]}_{\pi \mathrm{/}6}^{5\pi \mathrm{/}6}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{.}}\end{array}$$