九州大学 2023年度理系数学第5問解答・解説

問題

$x y$ 平面上の曲線 $C$ を，媒介変数 $t$ を用いて次のように定める。

x = t + 2 sin^{2} t, y = t + sin t (0 < t < π)

以下の問いに答えよ。

(1) 曲線 $C$ に接する直線のうち $y$ 軸と平行なものがいくつあるか求めよ。

(2) 曲線 $C$ のうち $y ≦ x$ の領域にある部分と直線 $y = x$ で囲まれた図形の面積を求めよ。

出典：九州大学 2023年度前期日程一般選抜理系第5問

方針

解法1（標準解法）

鉛直接線は媒介変数表示で $\frac{d x}{d t} = 0$ 、かつ $\frac{d y}{d t} \neq = 0$ となる点を数える。(2) はまず $x - y = sin t (2 sin t - 1)$ から、曲線が $y ≦ x$ にある範囲を $\frac{π}{6} ≦ t ≦ \frac{5 π}{6}$ と決める。面積は単なる縦幅積分ではなく、曲線と直線 $y = x$ でできる閉曲線の面積公式として $\int (x - y) \frac{d x}{d t} d t$ を用い、端点で $x = y$ となることを使って評価する。

解法2（座標を45度回転して面積を求める方法）

直線 $y = x$ を新しい $u$ 軸にするため $u = (x + y) / 2$ ， $v = (x - y) / 2$ とおく。対象部分では $v ≧ 0$ で，面積は $\int v d u$ になる。端点で $x - y = 0$ なので，微分の全微分項が消え，計算は $\int (2 sin^{2} t - sin t) d t$ に簡約される。

解答

解法1（標準解法）

(1)

$x = t + 2 sin^{2} t, y = t + sin t$ であるから $\frac{d x}{d t} = 1 + 4 sin t cos t = 1 + 2 sin 2 t$ である。 $y$ 軸と平行な接線をもつためには $\frac{d x}{d t} = 0$ が必要である。よって $1 + 2 sin 2 t = 0$ すなわち $sin 2 t = - \frac{1}{2}$ を解く。 $0 < t < π$ より $0 < 2 t < 2 π$ なので、 $2 t = \frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6}$ である。したがって $t = \frac{7 π}{12}, \frac{11 π}{12}$ の2つが候補である。

また $\frac{d y}{d t} = 1 + cos t$ であり、 $0 < t < π$ では $1 + cos t \neq = 0$ である。したがってこれら2点では実際に鉛直接線をもつ。よって、 $y$ 軸と平行な接線は $2 本$ である。

(2)

まず $x - y = 2 sin^{2} t - sin t = sin t (2 sin t - 1)$ である。 $0 < t < π$ では $sin t > 0$ だから、 $y ≦ x$ 、すなわち $x - y ≧ 0$ となるのは $sin t ≧ \frac{1}{2}$ のときである。したがって対象となる曲線部分は $\frac{π}{6} ≦ t ≦ \frac{5 π}{6}$ である。この両端では $x = y$ となり、曲線は直線 $y = x$ と交わる。

曲線部分を $t = \frac{π}{6}$ から $t = \frac{5 π}{6}$ まで進み、直線 $y = x$ 上を戻る閉曲線を考える。直線上では $y = x$ であるから、媒介変数表示の面積公式を用いると、求める面積 $S$ は $S = \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{5 π}{6}} (x - y) \frac{d x}{d t} d t$ で与えられる。これは、直線部分の寄与を合わせると $\int x d x$ が端点で打ち消されるためである。

したがって

S = \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{5 π}{6}} {sin t (2 sin t - 1)} (1 + 4 sin t cos t) d t = \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{5 π}{6}} (2 sin^{2} t - sin t) d t + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{5 π}{6}} (8 sin^{3} t cos t - 4 sin^{2} t cos t) d t

である。第2の積分は $[2 sin^{4} t - \frac{4}{3} sin^{3} t]_{\frac{π}{6}}^{\frac{5 π}{6}}$ であり、両端で $sin t = \frac{1}{2}$ なので $0$ になる。

一方、 $2 sin^{2} t - sin t = 1 - cos 2 t - sin t$ であるから

S = [t - \frac{1}{2} sin 2 t + cos t]_{\frac{π}{6}}^{\frac{5 π}{6}} = \frac{2 π}{3} - \frac{3}{2}

である。よって求める面積は $\frac{2 π}{3} - \frac{3}{2}$ である。

解法2（座標を45度回転して面積を求める方法）

(1)

\frac{d x}{d t} = 1 + 2 sin 2 t, \frac{d y}{d t} = 1 + cos t .

鉛直接線の条件は $d x / d t = 0$ である。 $0 < t < π$ で

sin 2 t = - \frac{1}{2}

を解くと

t = \frac{7 π}{12}, \frac{11 π}{12} .

この範囲では $d y / d t = 1 + cos t > 0$ だから，どちらも実際に鉛直接線を与える。よって

2 本

である。

(2)

x - y = sin t (2 sin t - 1)

であり， $0 < t < π$ では $sin t > 0$ だから， $y ≦ x$ となるのは

\frac{π}{6} ≦ t ≦ \frac{5 π}{6}

である。両端では $x = y$ となる。

座標を45度回転して

u = \frac{x + y}{2}, v = \frac{x - y}{2}

とおくと，直線 $y = x$ は $v = 0$ であり，求める面積は

S = \int_{π /6}^{5 π /6} v \frac{d u}{d t} d t = \frac{1}{2} \int_{π /6}^{5 π /6} (x - y) (x^{'} + y^{'}) d t .

ここで

\frac{1}{2} (x - y) (x^{'} + y^{'}) = (x - y) x^{'} + \frac{1}{4} \frac{d}{d t} (x - y)^{2} .

両端で $x - y = 0$ だから，全微分項の積分は0である。よって

S = \int_{π /6}^{5 π /6} (x - y) x^{'} d t .

$s = sin t$ と略記すれば

(x - y) x^{'} = (2 s^{2} - s) (1 + 4 s cos t) .

第2項は

(2 s^{2} - s) 4 s cos t = \frac{d}{d t} (2 s^{4} - \frac{4}{3} s^{3})

であり，両端で $s = 1/2$ なので積分すると0になる。したがって

S = \int_{π /6}^{5 π /6} (2 sin^{2} t - sin t) d t = [t - \frac{1}{2} sin 2 t + cos t]_{π /6}^{5 π /6} = \frac{2 π}{3} - \frac{3}{2} .

九州大学 2023年度理系数学 第5問

問題

方針

解法1（標準解法）

解法2（座標を45度回転して面積を求める方法）

解答

解法1（標準解法）

(1)

(2)

解法2（座標を45度回転して面積を求める方法）

(1)

(2)

九州大学 2023年度
理系数学第5問