九州大学 2026年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) 半径を$r>0$，中心を$(\epsilon r,\delta r)$とする。
$\epsilon ,\delta$はそれぞれ$1$または$-1$である。
中心が原点と反対側にある条件と，直線までの距離の条件から$$(3\epsilon +4\delta )r-12=5r\mathrm{.}$$ゆえに$(3\epsilon +4\delta -5)r=12$。
$r>0$となるのは$\epsilon =\delta =1$だけで，$r=6$となる。
したがって$$C_1:(x-6{)}^2+(y-6{)}^2=36.$$(2) 中心を$H(6,6)$とする。垂足は$$P=(6,6)-\frac{3\cdot 6+4\cdot 6-12}{3^2+4^2}(3,4)\mathrm{.}$$よって$$P(\frac{12}{5},\frac{6}{5})\mathrm{.}$$(3) 半径が6なので，$PQ=12$は直径である。
$H$が線分$PQ$の中点となることから$$Q(\frac{48}{5},\frac{54}{5})\mathrm{.}$$(4) $P$を$C_2$に代入すると$$\frac{6}{5}=a{(\frac{12}{5}-\frac{48}{5})}^2+\frac{54}{5}$$なので$$a=-\frac{5}{27}\mathrm{.}$$直線$PQ$は$y=4x\mathrm{/}3-2$である。放物線との差は$$-\frac{5}{27}(x-\frac{12}{5})(x-\frac{48}{5})\mathrm{.}$$したがって，直径と放物線の弧との間の面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E}& {\displaystyle =\frac{5}{27}{\int }_{12\mathrm{/}5}^{48\mathrm{/}5}(x-\frac{12}{5})(\frac{48}{5}-x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{5}{162}{\left(\frac{36}{5}\right)}^3=\frac{288}{25}\mathrm{.}}\end{array}$$放物線の弧で分けられる二つの領域の面積は，それぞれ$$S_1=18\pi -\frac{288}{25},S_2=18\pi +\frac{288}{25}\mathrm{.}$$

円と放物線の交点と、円の内部にある弧の確認。

$u=(5x-48)\mathrm{/}9$とおくと，放物線上では
$x=(9u+48)\mathrm{/}5$，$y=(54-3u^2)\mathrm{/}5$となる。
これを円の式へ代入すると$$u(u+4)(u^2-4u+9)=0.$$$u^2-4u+9=(u-2{)}^2+5>0$なので，交点は$u=-4,0$，すなわち$P,Q$だけである。
$-4<u<0$では円の左辺から36を引いた値が負なので，その弧は円の内部にある。

閉じた円とその内部を通る放物線の弧から，面積の異なる二つの領域ができる。
図で側を区別し，半円に対する足し引きの向きを確認する。