名古屋大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)
$v_n=\log a_n$、$L=\log a$ とおくと$$p{v}_n+q{v}_{n-1}=L,v_1=0.$$定数解 $L\mathrm{/}(p+q)$ との差を取れば$$v_n-{\displaystyle \frac{L}{p+q}}=-{\displaystyle \frac{q}{p}}(v_{n-1}-{\displaystyle \frac{L}{p+q}})\mathrm{.}$$よって$$v_n={\displaystyle \frac{L}{p+q}}\{1-{(-{\displaystyle \frac{q}{p}})}^{n-1}\}$$であり$$a_n=a^{{\displaystyle \frac{1}{p+q}}\{1-{(-{\displaystyle \frac{q}{p}})}^{n-1}\}}\mathrm{.}$$(2)
$p>q>0$ なら$$\mid -{\displaystyle \frac{q}{p}}\mid <1,{(-{\displaystyle \frac{q}{p}})}^{n-1}⟶0.$$したがって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=a^{1\mathrm{/}(p+q)}\mathrm{.}$$$a_n=a^{r_n}$。$p>q$ では指数が固定値へ交互に近づく

正の $p$ 乗根を取って漸化式を直接反復する。$a_n$ の指数が交代符号の有限等比和になることを示し、一般項と極限を一度に求める。

(1)
正値性から$$a_n=a^{1\mathrm{/}p}{a_{n-1}}^{-q\mathrm{/}p}\mathrm{.}$$これを $a_1=1$ まで反復すると$$a_n=a^{r_n},r_n={\displaystyle \frac{1}{p}}\{1-{\displaystyle \frac{q}{p}}+{\left({\displaystyle \frac{q}{p}}\right)}^2-\cdots +{(-{\displaystyle \frac{q}{p}})}^{n-2}\}\mathrm{.}$$有限等比和より$$r_n={\displaystyle \frac{1-(-q\mathrm{/}p{)}^{n-1}}{p+q}}\mathrm{.}$$したがって$$a_n=a^{{\displaystyle \frac{1}{p+q}}\{1-{(-{\displaystyle \frac{q}{p}})}^{n-1}\}}\mathrm{.}$$(2)
$p>q$ なら $\mathrm{\mid }q\mathrm{/}p\mathrm{\mid }<1$ であるから、有限和は無限等比級数$${\displaystyle \frac{1}{p}}\{1-{\displaystyle \frac{q}{p}}+{\left({\displaystyle \frac{q}{p}}\right)}^2-\cdots \}={\displaystyle \frac{1}{p+q}}$$へ近づく。よって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=a^{1\mathrm{/}(p+q)}\mathrm{.}$$