名古屋大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

変換行列を $M$ とし$${\mathit{e}}_1=({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}}),{\mathit{e}}_2=(-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$$とおく。直接計算すると$$M{\mathit{e}}_1=4a{\mathit{e}}_1,M{\mathit{e}}_2=4b{\mathit{e}}_2\mathrm{.}$$正方形の隣り合う辺の単位方向を$$\mathit{u}=\cos \varphi {\mathit{e}}_1+\sin \varphi {\mathit{e}}_2,\mathit{v}=-\sin \varphi {\mathit{e}}_1+\cos \varphi {\mathit{e}}_2$$とする。像の内積は$$(M\mathit{u})\cdot (M\mathit{v})=16(b^2-a^2)\sin \varphi \cos \varphi \mathrm{.}$$$a^2=b^2$、すなわち $a=b$ または $a=-b$ のとき、この内積はすべての $\varphi$ で0となる。よって問題文の位置条件を満たすすべての正方形が長方形へ移る。

$a^2\text{neqq}{b}^2$ のときは $\sin \varphi \cos \varphi =0$ である。したがって辺方向は ${\mathit{e}}_1,{\mathit{e}}_2$ に限られ、任意の $\lambda >0$ に対して4頂点が$$O,\lambda {\mathit{e}}_1,\lambda {\mathit{e}}_2,\lambda ({\mathit{e}}_1+{\mathit{e}}_2)$$である正方形がすべてである。

符号が負なら向きは反転するが、像の2辺の直交性は倍率の2乗で決まる

辺方向を $(\cos \theta ,\sin \theta )$ と置き、直交するもう1辺も同じ角で表す。像の内積を展開すると、基準角 $\pi \mathrm{/}6$ からのずれと $a^2-b^2$ の積に因数分解できる。

正方形の辺方向を$$\mathit{u}=(\cos \theta ,\sin \theta ),\mathit{v}=(-\sin \theta ,\cos \theta )$$とする。変換後が長方形になる必要十分条件は$$(M\mathit{u})\cdot (M\mathit{v})=0$$である。成分を展開して整理すると$$(M\mathit{u})\cdot (M\mathit{v})=8(a^2-b^2)\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{3}}-2\theta )\mathrm{.}$$したがって $a^2=b^2$ ならすべての $\theta$ が許され、問題文の位置条件を満たす全正方形が答えである。

$a^2\text{neqq}{b}^2$ なら$$2\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{3}}=k\pi ,$$すなわち$$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}+{\displaystyle \frac{k\pi }{2}}\mathrm{.}$$原点から上半平面へ延びる隣接2辺を取れば、その方向は$$({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}}),(-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$$である。辺長は任意の正数でよい。