名古屋大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験 三角関数・微分理系数学 第3問(b)

$$f(x)=\sin x-ax$$とおく。$a\geqq 1$ のとき$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\cos x-a\leqq 0.$$等号となる点は孤立しているので $f$ は厳密に減少する。また$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty },\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }\mathrm{.}$$したがって任意の実数 $b$ に対し $f(x)=b$ はただ1解をもつ。

同様に $a\leqq -1$ なら$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\cos x-a\geqq 0$$で $f$ は厳密に増加し、値域は実数全体である。よってこの場合も交点はただ1つである。

一方 $-1<a<1$ なら$$f^{\mathrm{\prime }}(0)=1-a>0,f^{\mathrm{\prime }}(\pi )=-1-a<0.$$したがって $f$ は単調ではない。もしすべての $b$ に対して $f(x)=b$ がただ1解なら、連続な $f$ は実数全体から実数全体への1対1対応となり、厳密に単調でなければならないので矛盾する。

以上より$$a\leqq -1\text{または}a\geqq 1.$$

同じ直線が正弦曲線と異なる2点で交わるなら、その傾きは2点間の割線の傾きに等しい。平均値の定理から正弦曲線の割線の傾きは絶対値1未満である。これを一意性の十分条件に使い、$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }<1$ では平行な接線の間の切片を選んで複数交点を作る。

異なる $x_1<x_2$ で同じ直線と交わるなら$$a={\displaystyle \frac{\sin x_2-\sin x_1}{x_2-x_1}}\mathrm{.}$$平均値の定理により右辺はある $c\in (x_1,x_2)$ に対する $\cos c$ である。また、区間全体で $\cos x=1$ または $-1$ となることはないので、異なる2点に対する割線では$$\mid {\displaystyle \frac{\sin x_2-\sin x_1}{x_2-x_1}}\mid <1.$$したがって $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\geqq 1$ の直線は正弦曲線と2点以上で交わらない。

さらに $a\text{neqq}0$ なら $\sin x-ax$ は両端で互いに逆向きの無限大へ進むので、任意の $b$ について少なくとも1つ交点がある。$a=\pm 1$ も含め、$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\geqq 1$ では交点はちょうど1つである。

逆に $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }<1$ なら $\cos x=a$ を満たす点が各周期に2つあり、傾き $a$ の接線が極大側・極小側に現れる。その2本の間の切片をもつ平行線を選べば、正弦曲線と複数点で交わる。よって条件を満たさない。

したがって答えは$$a\leqq -1\text{または}a\geqq 1$$である。