名古屋大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1) $$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a+2b& 2a+b\\ 2a+b& a+2b\end{array}\right)\mathrm{.}$$右辺も対角成分どうし、非対角成分どうしが等しい。$n=1$ ではこの形であり、帰納法によりすべての自然数 $n$ について$$a_n=d_n,b_n=c_n$$が成り立つ。

(2) (1)より$${\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)}^n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\\ b_n& a_n\end{array}\right)$$と書ける。右から一回分を掛けると$$a_{n+1}=a_n+2b_n,b_{n+1}=2a_n+b_n\mathrm{.}$$ここで$$u_n=a_n+b_n,v_n=a_n-b_n$$とおけば$$u_{n+1}=3u_n,v_{n+1}=-v_n\mathrm{.}$$初期値 $u_1=3,v_1=-1$ より$$u_n=3^n,v_n=(-1{)}^n\mathrm{.}$$したがって$$a_n={\displaystyle \frac{3^n+(-1{)}^n}{2}}\mathrm{.}$$

列ベクトル $(1,1)$ と $(1,-1)$ に行列を掛けた結果を調べる。この二方向ではそれぞれ3倍、$-1$ 倍になるので、標準基底を二方向の和に分けて第1列を直接求める。

(1) $$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=3\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)=-\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)\mathrm{.}$$この二方向を何回掛けても成分の入れ替えに対して同じ形が保たれるため、行列全体は$$\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\\ b_n& a_n\end{array}\right)$$の形になる。よって $a_n=d_n,b_n=c_n$ である。

(2) 第1列は、標準基底$$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)+{\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$$を $n$ 回変換したものである。したがって$$\left(\begin{array}{c}{a}_n\\ b_n\end{array}\right)={\displaystyle \frac{3^n}{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)+{\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)\mathrm{.}$$第1成分を読めば$$a_n={\displaystyle \frac{3^n+(-1{)}^n}{2}}$$となる。