名古屋大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験 関数・微分理系数学 第3問(a)

$P=(x,x^2)$（$x\geqq 0$）とおく。距離の2乗は$$D(x)=x^2+(x^2-a{)}^2$$で$$D^{\mathrm{\prime }}(x)=2x(1+2x^2-2a)\mathrm{.}$$したがって$$P=\{\begin{array}{ll}(0,0)& (a\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}),\\ (\sqrt{a-{\displaystyle \frac{1}{2}}},a-{\displaystyle \frac{1}{2}})& (a>{\displaystyle \frac{1}{2}})\mathrm{.}\end{array}$$$a=3\mathrm{/}4$ のとき$$P=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{4}}),AP={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\mathrm{.}$$円の下側の弧は$$y={\displaystyle \frac{3}{4}}-\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}}-x^2}$$である。求める面積を $T$ とすれば$$T={\int }_0^{1\mathrm{/}2}\{{\displaystyle \frac{3}{4}}-\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}}-x^2}-x^2\}dx\mathrm{.}$$ここで$${\int }_0^{1\mathrm{/}2}\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}}-x^2}dx={\displaystyle \frac{1}{8}}+{\displaystyle \frac{\pi }{16}}$$だから$$T={\displaystyle \frac{1}{3}}-({\displaystyle \frac{1}{8}}+{\displaystyle \frac{\pi }{16}})={\displaystyle \frac{5}{24}}-{\displaystyle \frac{\pi }{16}}\mathrm{.}$$

距離の2乗を $u=x^2$ の二次式として平方完成し、微分せずに最近点を分類する。後半の円弧積分は、半径と中心角から扇形・直角三角形の面積へ置き換える。

$u=x^2\geqq 0$ とおくと$$D=u+(u-a{)}^2={(u-a+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+a-{\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$したがって $a\leqq 1\mathrm{/}2$ なら制約 $u\geqq 0$ の端 $u=0$ で最小、$a>1\mathrm{/}2$ なら $u=a-1\mathrm{/}2$ で最小である。よって$$P=\{\begin{array}{ll}(0,0)& (a\leqq 1\mathrm{/}2),\\ (\sqrt{a-1\mathrm{/}2},a-1\mathrm{/}2)& (a>1\mathrm{/}2)\mathrm{.}\end{array}$$$a=3\mathrm{/}4$ では円の半径は $r=1\mathrm{/}\sqrt{2}$ で、点 $P$ に向かう半径の水平成分・下向き成分はいずれも $1\mathrm{/}2$ である。したがって該当する中心角は $\pi \mathrm{/}4$ で$${\int }_0^{1\mathrm{/}2}\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}}-x^2}dx=\underset{\text{扇形}}{\underbrace{{\displaystyle \frac{1}{2}}{r}^2\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{4}}}}+\underset{\text{三角形}}{\underbrace{{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}}}={\displaystyle \frac{\pi }{16}}+{\displaystyle \frac{1}{8}}\mathrm{.}$$一方$${\int }_0^{1\mathrm{/}2}({\displaystyle \frac{3}{4}}-x^2)dx={\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{.}$$よって囲まれた面積は$${\displaystyle \frac{1}{3}}-({\displaystyle \frac{1}{8}}+{\displaystyle \frac{\pi }{16}})={\displaystyle \frac{5}{24}}-{\displaystyle \frac{\pi }{16}}\mathrm{.}$$