名古屋大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) 共通接点の $x$ 座標を $t>0$ とする。接点で傾きが等しいので$$2at={\displaystyle \frac{1}{t}}\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{cccc}& a={\displaystyle \frac{1}{2t^2}}>0.& & \text{(1)}\end{array}$$また関数値も等しいから$$a{t}^2=\log t+b\mathrm{.}$$(1)より $a{t}^2=1\mathrm{/}2$ なので$$b={\displaystyle \frac{1}{2}}-\log t\mathrm{.}$$$$t=1\mathrm{/}\sqrt{2a}$$ を代入すると$$b={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\log (2a)(a>0)\mathrm{.}$$この値のとき交点が本当に1つだけであることを確認する。$$g(x)=a{x}^2-\log x-b$$とおくと$$g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=2a+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}>0$$だから $g$ は狭義凸である。接点 $x=t$ では $g^{\mathrm{\prime }}(t)=0,g(t)=0$ なので、そこで唯一の最小値0をとる。したがって2曲線の交点はこの1点だけである。

(2) $a=1\mathrm{/}2$ のとき$$t=1,b={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$2曲線は$$y={\displaystyle \frac{x^2}{2}},y=\log x+{\displaystyle \frac{1}{2}}$$であり、対数曲線と $x$ 軸の交点は $x=e^{-1\mathrm{/}2}$ である。求める面積を $S$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_0^{e^{-1\mathrm{/}2}}{\displaystyle \frac{x^2}{2}}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\int }_{e^{-1\mathrm{/}2}}^1\{{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-(\log x+{\displaystyle \frac{1}{2}})\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^1{\displaystyle \frac{x^2}{2}}dx-{\int }_{e^{-1\mathrm{/}2}}^1(\log x+{\displaystyle \frac{1}{2}})dx\mathrm{.}}\end{array}$$ここで$${\int }_0^1{\displaystyle \frac{x^2}{2}}dx={\displaystyle \frac{1}{6}}$$であり$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{e^{-1\mathrm{/}2}}^1(\log x+{\displaystyle \frac{1}{2}})dx}& {\displaystyle ={[x\log x-{\displaystyle \frac{x}{2}}]}_{e^{-1\mathrm{/}2}}^1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{e}}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$S={\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{e}}}\mathrm{.}$$

接点条件から $b$ を求めた後、差を $u-1-\log u$ の形へ変形して交点の一意性を示す。面積は $y$ を固定して、放物線と対数曲線をそれぞれ $x$ について解き、横方向の幅を積分する。

(1) 接点の $x$ 座標を $t$ とすると$$2at={\displaystyle \frac{1}{t}},a{t}^2=\log t+b\mathrm{.}$$これより$$t={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2a}}},b={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\log (2a),a>0.$$さらに $u=2a{x}^2>0$ とおくと、2曲線の差は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a{x}^2-\log x-b}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\{u-1-\log u\}\mathrm{.}}\end{array}$$$\log u\leqq u-1$ で、等号は $u=1$ のときだけ成立する。したがって差は常に0以上で、0になるのは$$u=1,x={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2a}}}$$の1点だけである。

(2) $a=1\mathrm{/}2$ のとき、横の高さを $0\leqq y\leqq 1\mathrm{/}2$ とする。放物線上の $x$ 座標は$$x=\sqrt{2y},$$対数曲線上の $x$ 座標は$$x=e^{y-1\mathrm{/}2}\mathrm{.}$$この範囲では後者が右側にあるので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_0^{1\mathrm{/}2}(e^{y-1\mathrm{/}2}-\sqrt{2y})dy}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\left[e^{y-1\mathrm{/}2}\right]}_0^{1\mathrm{/}2}-\sqrt{2}{\left[{\displaystyle \frac{2}{3}}{y}^{3\mathrm{/}2}\right]}_0^{1\mathrm{/}2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{e}}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{e}}}\mathrm{.}}\end{array}$$