名古屋大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

$F(x)=\log (\log x)$ とおく。$e\leqq p<q$ なので、区間 $[p,q]$ 上で $F$ は微分可能であり、平均値の定理を用いることができる。したがって、ある実数 $\xi$ が $p<\xi <q$ を満たして存在し、$F(q)-F(p)=F^{\mathrm{\prime }}(\xi )(q-p)$ となる。

ここで $$F^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{x\log x}}$$ である。また $p\geqq e$ かつ $p<\xi$ より $\xi >e$ である。したがって $\log \xi >1$ であり、$\xi \log \xi >e$ が成り立つ。よって $$F^{\mathrm{\prime }}(\xi )={\displaystyle \frac{1}{\xi \log \xi }}<{\displaystyle \frac{1}{e}}$$ である。

以上から $$\log (\log q)-\log (\log p)=F(q)-F(p)=F^{\mathrm{\prime }}(\xi )(q-p)<{\displaystyle \frac{q-p}{e}}$$ となり、求める不等式が示された。

差を
$\log (\log x)$ の導関数の定積分として表す。
被積分関数が区間内で $1\mathrm{/}e$ より真に小さいことを用いる。

微積分の基本定理から$$\log (\log q)-\log (\log p)={\int }_p^q{\displaystyle \frac{dx}{x\log x}}\mathrm{.}$$$p\geqq e$ であり、$x>e$ なら$$x\log x>e,{\displaystyle \frac{1}{x\log x}}<{\displaystyle \frac{1}{e}}\mathrm{.}$$$p=e$ の場合でも等号が起こり得るのは端点 $x=e$ だけであり、
長さをもつ区間 $(p,q)$ では被積分関数は $1\mathrm{/}e$ より真に小さい。
したがって$${\int }_p^q{\displaystyle \frac{dx}{x\log x}}<{\int }_p^q{\displaystyle \frac{1}{e}}dx={\displaystyle \frac{q-p}{e}}\mathrm{.}$$これが求める不等式である。