名古屋大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

原点でない交点 $P$ では $x>0$ である。交点の条件は $$c{x}^{3\mathrm{/}2}=\sqrt{x}$$ であり、両辺を $\sqrt{x}$ で割ると $cx=1$ である。したがって $$x={\displaystyle \frac{1}{c}}$$ である。

まず $y=c{x}^{3\mathrm{/}2}$ の導関数は $$y^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{3}{2}}c\sqrt{x}$$ である。$$x={\displaystyle \frac{1}{c}}$$ を代入すると、この曲線の $P$ における接線の傾きは $${\displaystyle \frac{3}{2}}c\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{c}}}={\displaystyle \frac{3}{2}}\sqrt{c}$$ である。また $$y=\sqrt{x}$$ の導関数は $$y^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}$$ であるから、同じ点での傾きは $${\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{1\mathrm{/}c}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{c}$$ である。

ここで $$t={\displaystyle \frac{\sqrt{c}}{2}}(t>0)$$ とおくと、2本の接線の傾きはそれぞれ $3t,t$ である。どちらも正の傾きなので、なす角 $\theta$ は $$\tan \theta ={\displaystyle \frac{3t-t}{1+3t^2}}={\displaystyle \frac{2t}{1+3t^2}}$$ を満たす。

この値の上限を求める。$t>0$ に対して $$1+3t^2-2\sqrt{3}t=(\sqrt{3}t-1{)}^2\geqq 0$$ であるから $${\displaystyle \frac{2t}{1+3t^2}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$ である。等号は $$\sqrt{3}t=1$$、すなわち $$t={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$ のときに成り立つ。

また $t>0$ なので $\tan \theta >0$ であり、$t\to 0+$ または $t\to \mathrm{\infty }$ とすると $\tan \theta \to 0$ である。したがって $\theta =0$ は近づくことはできるが、$c>0$ では実際には起こらない。最大のときは $$\tan \theta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$ だから $$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$$ である。よって求める範囲は $$0<\theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{6}}$$ である。

2本の接線の傾斜角 $\alpha ,\beta$ をそれぞれ $\tan \alpha =3t$、$\tan \beta =t$ により定める。差の正接を計算し、平方の非負性で最大値を評価する。

原点でない交点の $x$ 座標は $x=1\mathrm{/}c$ である。この点での2曲線の接線の傾きは$${\displaystyle \frac{3}{2}}\sqrt{c},{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{c}$$である。$$t=\sqrt{c}\mathrm{/}2>0$$ とおけば、傾きは $3t,t$ となる。

それぞれの接線の傾斜角を $\alpha ,\beta$ とおくと、$\tan \alpha =3t$，$\tan \beta =t$ であり、$0<\beta <\alpha <\pi \mathrm{/}2$ であり、求める角は $\theta =\alpha -\beta$ である。したがって$$\tan \theta ={\displaystyle \frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }}={\displaystyle \frac{2t}{1+3t^2}}\mathrm{.}$$ここで$$1+3t^2\geqq 2\sqrt{3}t$$だから $$0<\tan \theta \leqq 1\mathrm{/}\sqrt{3}$$ であり、等号は $t=1\mathrm{/}\sqrt{3}$ のときに成り立つ。また $t\to 0+$ または $t\to \mathrm{\infty }$ で $\tan \theta \to 0$ だが、$t>0$ では0にならない。よって$$0<\theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{6}}$$である。