名古屋大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $\cos \theta =t\sin \theta$ であり、$0<\theta <\pi \mathrm{/}2$、$t>0$ だから $\sin \theta >0$、$\cos \theta >0$ である。よって $\tan \theta ={\displaystyle \frac{1}{t}}$ である。直角三角形で、向かい合う辺を $1$、隣の辺を $t$ と見れば斜辺は $\sqrt{1+t^2}$ である。したがって$$\sin \theta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}},\cos \theta ={\displaystyle \frac{t}{\sqrt{1+t^2}}}$$である。

(2) $\cos x-t\sin x$ は $x=\theta$ で0になる。また $0\leqq x<\theta$ では正、$\theta <x\leqq \pi \mathrm{/}2$ では負である。したがって$$f(t)={\int }_0^{\theta }(\cos x-t\sin x)dx+{\int }_{\theta }^{\pi \mathrm{/}2}(t\sin x-\cos x)dx$$である。

第1項は $${[\sin x+t\cos x]}_0^{\theta }=\sin \theta +t\cos \theta -t$$ であり、第2項は$${[-t\cos x-\sin x]}_{\theta }^{\pi \mathrm{/}2}=t\cos \theta +\sin \theta -1$$である。よって $$f(t)=2(\sin \theta +t\cos \theta )-t-1$$ となる。(1)を代入すると$$\sin \theta +t\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}}+{\displaystyle \frac{t^2}{\sqrt{1+t^2}}}=\sqrt{1+t^2}$$だから $$f(t)=2\sqrt{1+t^2}-t-1$$ である。

微分すると $$f^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{2t}{\sqrt{1+t^2}}}-1$$ である。$f^{\mathrm{\prime }}(t)=0$ は $$2t=\sqrt{1+t^2}$$ と同値であり、$t>0$ より $4t^2=1+t^2$ なので $t={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$ である。また $$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{2}{(1+t^2{)}^{3\mathrm{/}2}}}>0$$ であるから、この点で最小をとる。

したがって最小値は$$f\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\right)=2\sqrt{1+{\displaystyle \frac{1}{3}}}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}-1={\displaystyle \frac{4}{\sqrt{3}}}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}-1=\sqrt{3}-1$$である。

$\cos x-t\sin x$ を振幅 $\sqrt{1+t^2}$ の余弦へ合成する。零点を境に絶対値積分を計算し、得られた式の最小値は平方して同値な完全平方の不等式から求める。

(1) $$\cos \theta =t\sin \theta$$と$${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$$より、$0<\theta <\pi \mathrm{/}2$ に注意して$$\sin \theta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}},\cos \theta ={\displaystyle \frac{t}{\sqrt{1+t^2}}}\mathrm{.}$$(2)
$\varphi$ を$$\cos \varphi ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}},\sin \varphi ={\displaystyle \frac{t}{\sqrt{1+t^2}}}$$で定めると$$\cos x-t\sin x=\sqrt{1+t^2}\cos (x+\varphi )\mathrm{.}$$零点は $x=\pi \mathrm{/}2-\varphi$ である。そこで符号を分けて積分すると$$f(t)=2\sqrt{1+t^2}-t-1.$$ここで$$2\sqrt{1+t^2}-t\geqq \sqrt{3}$$を示す。両辺へ $t$ を加えた量は正なので、平方してよい。するとこの不等式は$$4(1+t^2)\geqq (t+\sqrt{3}{)}^2$$と同値であり、さらに$$(\sqrt{3}t-1{)}^2\geqq 0$$と同値である。等号は$$t={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$のときに成り立つ。したがって$$\underset{t>0}{\min }f(t)=\sqrt{3}-1.$$