名古屋大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

$u$ を1つ固定する。条件 $0\leqq v\leqq u$ のもとで、第2座標は $y=(2\sin u-1)v$ である。したがって、その $u$ に対応する縦方向の線分の端点は $$y=0,y=(2\sin u-1)u$$ であり、長さは $u\mathrm{\mid }2\sin u-1\mathrm{\mid }$ である。 $$0\leqq u\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ において $2\sin u-1=0$ となるのは $$u={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$$ である。よって求める面積 $S$ は$$S={\int }_0^{\pi \mathrm{/}6}u(1-2\sin u)du+{\int }_{\pi \mathrm{/}6}^{\pi \mathrm{/}2}u(2\sin u-1)du$$である。

まず $$\int u\sin udu=-u\cos u+\sin u$$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{\pi \mathrm{/}6}u(1-2\sin u)du}& {\displaystyle ={[{\displaystyle \frac{u^2}{2}}+2u\cos u-2\sin u]}_0^{\pi \mathrm{/}6}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{{\pi }^2}{72}}+{\displaystyle \frac{\pi \sqrt{3}}{6}}-1.}\end{array}$$また$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{\pi \mathrm{/}6}^{\pi \mathrm{/}2}u(2\sin u-1)du}& {\displaystyle ={[-2u\cos u+2\sin u-{\displaystyle \frac{u^2}{2}}]}_{\pi \mathrm{/}6}^{\pi \mathrm{/}2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-{\displaystyle \frac{{\pi }^2}{9}}+{\displaystyle \frac{\pi \sqrt{3}}{6}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =({\displaystyle \frac{{\pi }^2}{72}}+{\displaystyle \frac{\pi \sqrt{3}}{6}}-1)+(1-{\displaystyle \frac{{\pi }^2}{9}}+{\displaystyle \frac{\pi \sqrt{3}}{6}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi \sqrt{3}}{3}}-{\displaystyle \frac{7{\pi }^2}{72}}={\displaystyle \frac{\pi (24\sqrt{3}-7\pi )}{72}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって求める面積は ${\displaystyle \frac{\pi (24\sqrt{3}-7\pi )}{72}}$ である。

符号を含む縦断面の積分を全区間で計算し、負になる区間の符号を反転する補正を2倍だけ加える。

境界の符号つき高さを$$h(u)=u(2\sin u-1)$$とおく。全区間の符号つき面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle I}& {\displaystyle ={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}h(u)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[-2u\cos u+2\sin u-{\displaystyle \frac{u^2}{2}}]}_0^{\pi \mathrm{/}2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2-{\displaystyle \frac{{\pi }^2}{8}}\mathrm{.}}\end{array}$$$0\leqq u\leqq \pi \mathrm{/}6$ では $h(u)\leqq 0$ であり、この部分の符号つき面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle J}& {\displaystyle ={\int }_0^{\pi \mathrm{/}6}h(u)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-{\displaystyle \frac{\pi \sqrt{3}}{6}}-{\displaystyle \frac{{\pi }^2}{72}}\mathrm{.}}\end{array}$$実際の面積ではこの負の部分を反転するので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{Area}(S)}& {\displaystyle =I-2J}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi \sqrt{3}}{3}}-{\displaystyle \frac{7{\pi }^2}{72}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi (24\sqrt{3}-7\pi )}{72}}\mathrm{.}}\end{array}$$