名古屋大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験 確率・場合の数文系数学 第3問(a)

直方体の向かい合う2面は面積が等しいので、それぞれ同じ確率で出る。したがって、出る確率が${\displaystyle \frac{1}{9}}$である面の反対側の面も確率${\displaystyle \frac{1}{9}}$で出る。同様に、出る確率が${\displaystyle \frac{1}{4}}$である面の反対側の面も確率${\displaystyle \frac{1}{4}}$で出る。

残りの向かい合う2面の1面あたりの確率を$r$とする。全確率は1なので $$2({\displaystyle \frac{1}{9}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}+r)=1$$ である。よって $${\displaystyle \frac{1}{9}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}+r={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ となり、$$r={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{9}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{5}{36}}$$ である。

確率${\displaystyle \frac{1}{9}}$, ${\displaystyle \frac{1}{4}}$, ${\displaystyle \frac{5}{36}}$の組に書かれている向かい合う2数の和をそれぞれ$A,B,C$とする。期待値が3であるから $${\displaystyle \frac{A}{9}}+{\displaystyle \frac{B}{4}}+{\displaystyle \frac{5C}{36}}=3$$ である。また、1から6までの和は21なので $A+B+C=21$ である。

期待値の式を36倍すると $4A+9B+5C=108$ である。一方、$A+B+C=21$を5倍すると $5A+5B+5C=105$ である。上の2式を引くと $-A+4B=3$ すなわち $A=4B-3$ である。

2つの異なる目の和は最小で$1+2=3$、最大で$5+6=11$である。したがって$A\leqq 11$より $4B-3\leqq 11$ となり $$B\leqq {\displaystyle \frac{7}{2}}$$ である。さらに$B\geqq 3$なので $B=3$ しかない。よって $A=9,C=9$ である。

和が3になる2数は$1,2$だけであるから、確率${\displaystyle \frac{1}{4}}$の向かい合う2面には1と2が書かれている。残りの$3,4,5,6$は、2組とも和が9になるように向かい合うので $(3,6),(4,5)$ が反対側の組である。したがって、3の書かれている面の反対側に書かれている数は $6$ である。

向かい合う面を3組に分け、90通りしかない「目の組分けと確率の割当て」を表で絞る。期待値を36倍した整数 $4A+9B+5C$ を各組分けについて確認し、条件を満たす割当てだけを残す。式による一意性とは別に、有限個の候補を漏れなく検査する解法である。

向かい合う面の1面あたりの確率は$${\displaystyle \frac{1}{9}},{\displaystyle \frac{1}{4}},{\displaystyle \frac{5}{36}}$$である。向かい合う2数の和を、順に $A,B,C$ とする。期待値が $3$ である条件は$$4A+9B+5C=108.$$6個の目を3組に分ける方法は有限個なので、和の小さい組から順に検査できる。係数 $9$ が最も大きいから、まず ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ の面の組、すなわち和 $B$ の候補ごとに調べる。条件を満たす割当てだけを残すと$$\begin{array}{cccc}{\displaystyle \frac{1}{4}}\text{ の組}& {\displaystyle \frac{1}{9}}\text{ の組}& {\displaystyle \frac{5}{36}}\text{ の組}& 4A+9B+5C\\ (1,2)& (3,6)& (4,5)& 108\\ (1,2)& (4,5)& (3,6)& 108\end{array}$$となる。

この表にない割当てがないことも確認する。目の総和から $A+B+C=21$ である。これを期待値の式から消去すると$$A=4B-3.$$一方、異なる2つの目の和は3以上11以下だから$$3\leqq 4B-3\leqq 11.$$よって整数 $B$ は $B=3$ しかなく、${\displaystyle \frac{1}{4}}$ の組は $(1,2)$ に限られる。

残る目は $3,4,5,6$ で、表のとおり向かい合う組は$$(3,6),(4,5)\mathrm{.}$$したがって、3の反対側は$$6$$である。