名古屋大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1) $x>0$ で交点を調べるので、方程式 $x\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }=kx$ を $x$ で割ってよい。$0<x<1$ では $\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }=1-x$ だから $1-x=k,x=1-k$ となる。この交点が実際に $0<x<1$ にある条件は $0<1-k<1$ すなわち $0<k<1$ である。

一方、$x\geqq 1$ では $\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }=x-1$ だから $x-1=k,x=k+1$ となる。この交点が $x\mathrm{\ne }0$ かつ $x\geqq 1$ にある条件は $k\geqq 0$ である。したがって、$x>0$ に2つの交点をもつには、前半の交点も後半の交点も現れ、しかも別々の位置にある必要がある。よって $0<k<1$ である。

(2)
以下 $0<k<1$ とする。交点の $x$ 座標は、原点を除くと $1-k,1+k$ であり、曲線と直線は原点でも交わる。$0<x<1-k$ では $x(1-x)-kx=x(1-k-x)>0$ なので曲線が直線より上にある。したがって原点側の面積は$${\int }_0^{1-k}x(1-k-x)dx={\displaystyle \frac{(1-k{)}^3}{6}}$$である。

次に、$1-k<x<1+k$ の部分では直線が曲線より上にある。$x=1+u$ とおくと、$-k\leqq u\leqq k$ であり、曲線は $y=(1+u)\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }$、直線は $y=k(1+u)$ である。よってこの部分の面積は$${\int }_{-k}^0(1+u)(k+u)du+{\int }_0^k(1+u)(k-u)du$$である。実際に計算すると$${\int }_{-k}^0(1+u)(k+u)du={\displaystyle \frac{k^2}{2}}-{\displaystyle \frac{k^3}{6}},$$$${\int }_0^k(1+u)(k-u)du={\displaystyle \frac{k^2}{2}}+{\displaystyle \frac{k^3}{6}}$$となるので、この部分の面積は $k^2$ である。

したがって、囲まれる図形全体の面積を $S(k)$ とすると $$S(k)={\displaystyle \frac{(1-k{)}^3}{6}}+k^2(0<k<1)$$ である。微分して $$S^{\mathrm{\prime }}(k)=-{\displaystyle \frac{(1-k{)}^2}{2}}+2k$$ となる。$S^{\mathrm{\prime }}(k)=0$ は $(1-k{)}^2=4k$ すなわち $k^2-6k+1=0$ を与えるから $k=3\pm 2\sqrt{2}$ である。このうち $0<k<1$ を満たすのは $k=3-2\sqrt{2}$ だけである。また $$S^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(k)=3-k>0(0<k<1)$$ だから、この点で $S(k)$ は最小になる。よって求める値は $3-2\sqrt{2}$ である。

交点と面積は絶対値の左右で求めるが、最小値の判定では微分に頼らず、候補 $k_0=3-2\sqrt{2}$ との差を因数分解する。差が $(k-k_0{)}^2$ と正の因子の積になることから大域的最小を直接示す。

(1)
$x>0$ では交点方程式を $x$ で割って$$\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }=k$$とできる。$0<x<1$ では $x=1-k$、$x\geqq 1$ では $x=1+k$ である。前者が $(0,1)$ に入り、後者と異なるための条件は$$0<k<1$$である。

(2)
原点側の領域は$${\int }_0^{1-k}x(1-k-x)dx={\displaystyle \frac{(1-k{)}^3}{6}}\mathrm{.}$$2つの正の交点の間は $x=1+u$ と置けば$${\int }_{-k}^0(1+u)(k+u)du+{\int }_0^k(1+u)(k-u)du=k^2\mathrm{.}$$従って面積は$$S(k)={\displaystyle \frac{(1-k{)}^3}{6}}+k^2(0<k<1)$$である。

$k_0=3-2\sqrt{2}$ と置く。直接展開すると$$S(k)-S(k_0)={\displaystyle \frac{(k-k_0{)}^2(3+4\sqrt{2}-k)}{6}}\mathrm{.}$$$0<k<1$ では $3+4\sqrt{2}-k>0$ だから右辺は0以上で、等号は $k=k_0$ のときだけ成り立つ。よって面積を最小にする値は$$k=3-2\sqrt{2}$$である。