名古屋大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

点 $P(t,t^3)$ における $C:y=x^3$ の接線を求める。導関数は $y^{\mathrm{\prime }}=3x^2$ だから、接線の方程式は $y-t^3=3t^2(x-t)$ すなわち $y=3t^{2}x-2t^3$ である。これと $y=x^3$ の交点は $x^3=3t^{2}x-2t^3$ を満たす。左辺に移して因数分解すると $$x^3-3t^{2}x+2t^3=(x-t{)}^2(x+2t)$$ である。接点 $x=t$ は重解であり、もう1つの交点は $Q=(-2t,-8t^3)$ である。

同様に、点 $Q$ の $x$ 座標は $-2t$ なので、$Q$ における接線の傾きは $3(-2t{)}^2=12t^2$ である。実際にもう1つの交点を求めると $R=(4t,64t^3)$ となる。

したがって $$\overrightarrow{QP}=P-Q=3t(1,3t^2),$$ $$\overrightarrow{QR}=R-Q=6t(1,12t^2)$$ である。$t\mathrm{\ne }0$ なので $u=t^2>0$ とおくと、なす角 $\theta =\mathrm{\angle }PQR$ について $$\cos \theta ={\displaystyle \frac{1+36u^2}{\sqrt{1+9u^2}\sqrt{1+144u^2}}}$$ である。

範囲を出すには、2直線の傾き $3u$, $12u$ のなす角を使う。$u>0$ ではどちらの傾きも正で、$12u>3u$ だから $$\tan \theta ={\displaystyle \frac{12u-3u}{1+3u\cdot 12u}}={\displaystyle \frac{9u}{1+36u^2}}$$ である。この関数を $T(u)$ とおくと$$T^{\mathrm{\prime }}(u)={\displaystyle \frac{9(1+36u^2)-9u\cdot 72u}{(1+36u^2{)}^2}}={\displaystyle \frac{9(1-36u^2)}{(1+36u^2{)}^2}}$$である。よって $T(u)$ は $0<u<1\mathrm{/}6$ で増加し、$u>1\mathrm{/}6$ で減少する。最大値は $$T\left({\displaystyle \frac{1}{6}}\right)={\displaystyle \frac{9\mathrm{/}6}{1+1}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$$ である。 $0<\theta <\pi \mathrm{/}2$ なので、$\tan \theta$ が最大のとき $\cos \theta$ は最小になる。したがって $$\cos \theta \geqq {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^2}}}={\displaystyle \frac{4}{5}}$$ である。等号は $u=1\mathrm{/}6$、すなわち $t^2=1\mathrm{/}6$ のときに成り立つ。また $u\to 0$ または $u\to \mathrm{\infty }$ のとき $\tan \theta \to 0$ だから $\cos \theta \to 1$ であるが、$u>0$ では2本の接線の傾きが異なるので $\cos \theta =1$ にはならない。よって求める範囲は $${\displaystyle \frac{4}{5}}\leqq \cos \mathrm{\angle }PQR<1$$ である。

交点と2本の接線方向を求めるところまでは同じだが、余弦の2乗を $v=36t^4$ の有理式にする。目標値 $16\mathrm{/}25$ との差が $9(v-1{)}^2$ に因数分解できるため、微分を使わずに下端と等号条件を決める。

点 $P(t,t^3)$ の接線と曲線とのもう1つの交点は$$Q=(-2t,-8t^3)$$であり、さらに$$R=(4t,64t^3)$$である。従って$$\overrightarrow{QP}=3t(1,3t^2),\overrightarrow{QR}=6t(1,12t^2)\mathrm{.}$$$u=t^2>0$ と置けば$${\cos }^2\mathrm{\angle }PQR={\displaystyle \frac{(1+36u^2{)}^2}{(1+9u^2)(1+144u^2)}}\mathrm{.}$$さらに $v=36u^2>0$ と置くと$${\cos }^2\mathrm{\angle }PQR={\displaystyle \frac{(1+v{)}^2}{(1+v\mathrm{/}4)(1+4v)}}\mathrm{.}$$ここで$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle 25(1+v{)}^2-16(1+v\mathrm{/}4)(1+4v)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =9(v-1{)}^2\geqq 0.}\end{array}$$従って$${\cos }^2\mathrm{\angle }PQR\geqq {\displaystyle \frac{16}{25}}\mathrm{.}$$角は鋭角なので$$\cos \mathrm{\angle }PQR\geqq {\displaystyle \frac{4}{5}}\mathrm{.}$$等号は $v=1$、すなわち $36t^4=1$、$t^2=1\mathrm{/}6$ のときに成り立つ。

一方、分母から分子を引くと$$(1+v\mathrm{/}4)(1+4v)-(1+v{)}^2={\displaystyle \frac{9}{4}}v>0$$だから、有限の $t\mathrm{\ne }0$ では余弦は1より小さい。よって範囲は$${\displaystyle \frac{4}{5}}\leqq \cos \mathrm{\angle }PQR<1.$$