名古屋大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
放物線 $C:y=a{x}^2$ の導関数は $y^{\mathrm{\prime }}=2ax$ である。したがって点 $P(p,a{p}^2)$ における接線の傾きは $2ap$ である。$p\mathrm{\ne }0$ なのでこの値は0でなく、これに直交する直線 $l$ の傾きは $-{\displaystyle \frac{1}{2ap}}$ である。よって $l$ の方程式は $$y-a{p}^2=-{\displaystyle \frac{1}{2ap}}(x-p)$$ である。

(2)
直線 $l$ と放物線 $C$ の交点のうち、$P$ でない方の $x$ 座標を $r$ とする。交点では $$a{x}^2=a{p}^2-{\displaystyle \frac{1}{2ap}}(x-p)$$ である。両辺に $2ap$ を掛けると $2a^{2}p{x}^2=2a^2{p}^3-x+p$ である。これは $x=p$ を解にもつので、もう一つの解を $r$ とすれば、解と係数の関係より $$p+r=-{\displaystyle \frac{1}{2a^{2}p}}$$ である。したがって $$r=-p-{\displaystyle \frac{1}{2a^{2}p}}$$ であり、$$p-r=2p+{\displaystyle \frac{1}{2a^{2}p}}$$ である。

直線の式を $L(x)$ と書くと、$L(x)-a{x}^2$ は $x=r,p$ で0になり、$r<x<p$ で正である。よって $$L(x)-a{x}^2=-a(x-p)(x-r)=a(p-x)(x-r)$$ である。したがって囲まれる面積は$$S(P)={\int }_r^{p}a(p-x)(x-r)dx$$である。ここで $u=x-r$ とおくと、$0\leqq u\leqq p-r$ で $(p-x)(x-r)=\{(p-r)-u\}u$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(P)}& {\displaystyle =a{\int }_0^{p-r}\{(p-r)u-u^2\}du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a}{6}}(p-r{)}^3}\end{array}$$である。ゆえに $$S(P)={\displaystyle \frac{a}{6}}{(2p+{\displaystyle \frac{1}{2a^{2}p}})}^3$$ である。 $p>0$ なので、$S(P)$ を最小にするには $2p+{\displaystyle \frac{1}{2a^{2}p}}$ を最小にすればよい。相加平均と相乗平均の関係より $$2p+{\displaystyle \frac{1}{2a^{2}p}}\geqq 2\sqrt{2p\cdot {\displaystyle \frac{1}{2a^{2}p}}}={\displaystyle \frac{2}{a}}$$ であり、等号は $$2p={\displaystyle \frac{1}{2a^{2}p}}$$ すなわち $$p={\displaystyle \frac{1}{2a}}$$ のときに成立する。このとき $l$ の傾き $m$ は $$m=-{\displaystyle \frac{1}{2ap}}=-1$$ であり、最小面積は$$S(P{)}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}={\displaystyle \frac{a}{6}}{\left({\displaystyle \frac{2}{a}}\right)}^3={\displaystyle \frac{4}{3a^2}}$$である。したがって$$\begin{gathered} m=-1, \\ S(P{)}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}={\displaystyle \frac{4}{3a^2}} \end{gathered}$$である。

法線の傾き $m$ を主変数にする。$p=-1\mathrm{/}(2am)$ と交点間の幅を $m$ だけで表せば、相加相乗平均により $m=-1$ を直接得られる。

(1)

接線の傾きは $2ap$ だから、法線 $l$ の傾きを $m$ とすると$$m=-{\displaystyle \frac{1}{2ap}}\mathrm{.}$$したがって$$l:y-a{p}^2=-{\displaystyle \frac{1}{2ap}}(x-p)$$である。

(2)

$p>0$ なので $m<0$ であり、$$p=-{\displaystyle \frac{1}{2am}}\mathrm{.}$$$l$ と放物線のもう一つの交点の $x$ 座標を $r$ とする。解と係数の関係から$$p+r={\displaystyle \frac{m}{a}},$$したがって$$p-r=2p-{\displaystyle \frac{m}{a}}=-{\displaystyle \frac{1}{a}}(m+{\displaystyle \frac{1}{m}})\mathrm{.}$$$u=-m>0$ とおくと$$p-r={\displaystyle \frac{1}{a}}(u+{\displaystyle \frac{1}{u}})\geqq {\displaystyle \frac{2}{a}},$$等号は $u=1$、すなわち $m=-1$ のときに成立する。

直線と放物線の差は $a(p-x)(x-r)$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(P)}& {\displaystyle ={\int }_r^{p}a(p-x)(x-r)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a}{6}}(p-r{)}^3\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$S(P)\geqq {\displaystyle \frac{a}{6}}{\left({\displaystyle \frac{2}{a}}\right)}^3={\displaystyle \frac{4}{3a^2}}\mathrm{.}$$したがって、求める値は$$m=-1,S(P{)}_{\min }={\displaystyle \frac{4}{3a^2}}$$である。