名古屋大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験 微分・積分理系数学 第4問(b)

原問題は、右図として与えられた $y=f(x)$ のグラフを読んで作図する問題である。しかし、確認できた年度別アーカイブの個別 TeX・JPG・PDF には本文だけが収録され、右図は欠落している。零点、極値、水平区間、傾き、各区間の符号付き面積が分からないため、$f^{\mathrm{\prime }}$ と積分関数の具体的なグラフは一意に決定できない。

作図原理そのものは次の通りである。まず$$F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$$とおくと、$$F(0)=0,F^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x),F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=f^{\mathrm{\prime }}(x)$$である。

$y=f^{\mathrm{\prime }}(x)$ は $f$ の接線の傾きを表す。したがって、$f$ の増加区間では $f^{\mathrm{\prime }}>0$、減少区間では $f^{\mathrm{\prime }}<0$、水平な接線をもつ点では $f^{\mathrm{\prime }}=0$ となる。また、傾きの変化を読み取って $f^{\mathrm{\prime }}$ の増減も描く。

$y=F(x)$ は、$f>0$ の区間で増加し、$f<0$ の区間で減少する。$f=0$ で符号が変わる点は $F$ の極値候補である。さらに $f^{\mathrm{\prime }}>0$ の区間と $f^{\mathrm{\prime }}<0$ の区間で $F$ の凹凸が切り替わる。$F$ の具体的な高さは、原グラフの下の符号付き面積を順に加えて決める。

以上から、原図を入手できれば両グラフを描けるが、欠落した原図の数値や形状を推測して補うことはできない。

原グラフが得られた場合に、$f^{\mathrm{\prime }}$ と積分関数を機械的に描くための対応表を作る。欠落資料にない数値や形状は補わない。

原問題の右図が欠落しているため、具体的なグラフは確定できない。原図を入手したときは、次の順で作図する。

まず $f^{\mathrm{\prime }}$ について、$$\begin{array}{cc}f\text{ の特徴}& f^{\mathrm{\prime }}\text{ の特徴}\\ f\text{ が増加}& f^{\mathrm{\prime }}>0\\ f\text{ が減少}& f^{\mathrm{\prime }}<0\\ f\text{ の接線が水平}& f^{\mathrm{\prime }}=0\\ f\text{ の傾きが増加}& f^{\mathrm{\prime }}\text{ は増加}\\ f\text{ の傾きが減少}& f^{\mathrm{\prime }}\text{ は減少}\end{array}$$を図の各区間へ適用する。

次に$$F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$$とおき、$$F(0)=0,F^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x),F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=f^{\mathrm{\prime }}(x)$$を使う。したがって、$f$ の正負から $F$ の増減、$f$ の零点から $F$ の極値候補、$f^{\mathrm{\prime }}$ の正負から $F$ の凹凸を決める。さらに $F(x)$ の高さを決めるには、原図から読み取れる $f$ の符号付き面積が必要である。

以上は作図原理を一意に定めるが、原図なしに零点・極値・面積値を特定することはできない。