名古屋大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

まず $0\leqq x\leqq \pi$ の場合を考える。このとき、$0\leqq t\leqq x$ では $\mathrm{\mid }t-x\mathrm{\mid }=x-t$、$x\leqq t\leqq \pi$ では $\mathrm{\mid }t-x\mathrm{\mid }=t-x$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)}& {\displaystyle ={\int }_0^x\sin (x-t+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})dt+{\int }_x^{\pi }\sin (t-x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})dt\mathrm{.}}\end{array}$$第1項は$${\int }_0^x\sin (x-t+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})dt={[-\cos u]}_{u=\pi \mathrm{/}4}^{x+\pi \mathrm{/}4}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}-\cos (x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$$であり、第2項は$${\int }_x^{\pi }\sin (t-x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})dt={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}-\cos (\pi -x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$$である。よって$$f(x)=\sqrt{2}-\cos (x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})-\cos ({\displaystyle \frac{5\pi }{4}}-x)$$である。和積公式を用いると$$\cos (x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})+\cos ({\displaystyle \frac{5\pi }{4}}-x)=-\sqrt{2}\sin x$$なので $$f(x)=\sqrt{2}(1+\sin x)(0\leqq x\leqq \pi )$$ である。

次に $\pi \leqq x\leqq 2\pi$ の場合を考える。このとき $0\leqq t\leqq \pi \leqq x$ だから $\mathrm{\mid }t-x\mathrm{\mid }=x-t$ であり、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)}& {\displaystyle ={\int }_0^{\pi }\sin (x-t+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\cos (x-{\displaystyle \frac{3\pi }{4}})-\cos (x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-2\cos (x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})}\end{array}$$である。

したがって$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\sqrt{2}(1+\sin x)& (0\leqq x\leqq \pi ),\\ -2\cos (x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})& (\pi \leqq x\leqq 2\pi )\end{array}$$である。 $0\leqq x\leqq \pi$ では $0\leqq \sin x\leqq 1$ だから $$\sqrt{2}\leqq f(x)\leqq 2\sqrt{2}$$ であり、最大値 $2\sqrt{2}$ は $$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ でとる。 $\pi \leqq x\leqq 2\pi$ では $x+\pi \mathrm{/}4$ は $[5\pi \mathrm{/}4,9\pi \mathrm{/}4]$ を動く。この範囲で $\cos (x+\pi \mathrm{/}4)$ の最大値は1で、これは $$x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}=2\pi$$ すなわち $$x={\displaystyle \frac{7\pi }{4}}$$ で起こる。よって $-2\cos (x+\pi \mathrm{/}4)$ の最小値は $-2$ である。一方、この区間での最大値は $\sqrt{2}$ 以下なので、全体の最大値は前半で得た $2\sqrt{2}$ である。

以上より、最大値は $$2\sqrt{2}(x={\displaystyle \frac{\pi }{2}})$$ であり、最小値は $$-2(x={\displaystyle \frac{7\pi }{4}})$$ である。

絶対値を外した後、各積分を$${\int }_0^u\sin (v+\pi \mathrm{/}4)dv$$の形にそろえる。
端点だけで表した式から最大・最小を読む。

まず $0\leqq x\leqq \pi$ とする。
前半では $u=x-t$、後半では $u=t-x$ と置けば$$f(x)={\int }_0^x\sin (u+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})du+{\int }_0^{\pi -x}\sin (u+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})du\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)}& {\displaystyle =\sqrt{2}-\cos (x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})-\cos ({\displaystyle \frac{5\pi }{4}}-x)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sqrt{2}(1+\sin x)\mathrm{.}}\end{array}$$この区間では$$\sqrt{2}\leqq f(x)\leqq 2\sqrt{2},$$最大値 $2\sqrt{2}$ は $x=\pi \mathrm{/}2$ でとる。

次に $\pi \leqq x\leqq 2\pi$ では $u=x-t$ と置いて$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)}& {\displaystyle ={\int }_{x-\pi }^x\sin (u+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-2\cos (x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})\mathrm{.}}\end{array}$$$x+\pi \mathrm{/}4$ は $[5\pi \mathrm{/}4,9\pi \mathrm{/}4]$ を動くので、
この区間の最小値は$$-2(x={\displaystyle \frac{7\pi }{4}})$$であり、最大値は $\sqrt{2}$ である。
両区間を比較すると、全体の最大値は$$2\sqrt{2}(x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}),$$最小値は$$-2(x={\displaystyle \frac{7\pi }{4}})$$である。