名古屋大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $n=0$ のとき $$f_0(2\cos \theta )=2=2\cos 0\theta$$ であり、$n=1$ のとき $$f_1(2\cos \theta )=2\cos \theta$$ である。よって主張は $n=0,1$ で成り立つ。 $n-1,n-2$ で成り立つと仮定する。漸化式より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f_n(2\cos \theta )}& {\displaystyle =2\cos \theta f_{n-1}(2\cos \theta )-f_{n-2}(2\cos \theta )}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\cos \theta \cdot 2\cos (n-1)\theta -2\cos (n-2)\theta \mathrm{.}}\end{array}$$ここで余弦の加法公式から $$2\cos \theta \cos (n-1)\theta =\cos n\theta +\cos (n-2)\theta$$ である。したがって $$f_n(2\cos \theta )=2\cos n\theta$$ である。よって帰納法により、すべての $n\geqq 0$ で成り立つ。

(2) $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\leqq 2$ で $$x=2\cos \theta (0\leqq \theta \leqq \pi )$$ とおく。(1)より $f_n(x)=0$ は $2\cos n\theta =0$ と同値である。最大の $x$ は最小の正の $\theta$ に対応するので、$$n\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ から $$x_n=2\cos {\displaystyle \frac{\pi }{2n}}$$ である。

積分を計算する。$x=2\cos \theta$ とすると $$dx=-2\sin \theta d\theta$$ であり、$x=x_n$ は $$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{2n}}$$、$x=2$ は $\theta =0$ に対応する。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{x_n}^2{f}_n(x)dx}& {\displaystyle ={\int }_{{\displaystyle \frac{\pi }{2n}}}^{0}2\cos n\theta \cdot (-2\sin \theta )d\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4{\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{2n}}}\cos n\theta \sin \theta d\theta \mathrm{.}}\end{array}$$積和公式 $$\sin \theta \cos n\theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}\{\sin (n+1)\theta -\sin (n-1)\theta \}$$ を用いると、$$\alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{2n}}$$ として$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{\alpha }\cos n\theta \sin \theta d\theta }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}[{\displaystyle \frac{1-\cos (n+1)\alpha }{n+1}}-{\displaystyle \frac{1-\cos (n-1)\alpha }{n-1}}]\mathrm{.}}\end{array}$$ここで$$\cos (n+1)\alpha =\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}+{\displaystyle \frac{\pi }{2n}})=-\sin {\displaystyle \frac{\pi }{2n}}$$であり、$$\cos (n-1)\alpha =\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-{\displaystyle \frac{\pi }{2n}})=\sin {\displaystyle \frac{\pi }{2n}}$$である。よって$${\int }_0^{\alpha }\cos n\theta \sin \theta d\theta ={\displaystyle \frac{n\sin {\displaystyle \frac{\pi }{2n}}-1}{n^2-1}}$$である。したがって$${\int }_{x_n}^2{f}_n(x)dx={\displaystyle \frac{4(n\sin {\displaystyle \frac{\pi }{2n}}-1)}{n^2-1}}$$である。

(3)

(2) の結果から$$n^2{\int }_{x_n}^2{f}_n(x)dx={\displaystyle \frac{4n^2}{n^2-1}}(n\sin {\displaystyle \frac{\pi }{2n}}-1)$$である。ここで$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{n^2}{n^2-1}}=1$$であり、また$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n\sin {\displaystyle \frac{\pi }{2n}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$である。したがって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{n}^2{\int }_{x_n}^2{f}_n(x)dx=4({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-1)=2\pi -4$$である。

(1) (2)で根と積分表示まで求める。(3)では(2)の閉じた式へ代入せず、$u=n\theta$で縮小区間を固定区間$[0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$へ拡大し、はさみうちで極限を評価する。

(1)

余弦の加法公式と帰納法により$$f_n(2\cos \theta )=2\cos n\theta \mathrm{.}$$(2)

したがって最大の根は$$x_n=2\cos {\displaystyle \frac{\pi }{2n}}\mathrm{.}$$$x=2\cos \theta$とおくと$${\int }_{x_n}^2{f}_n(x)dx=4{\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{2n}}}\cos (n\theta )\sin \theta d\theta \mathrm{.}$$積和公式で計算すれば$${\int }_{x_n}^2{f}_n(x)dx={\displaystyle \frac{4(n\sin {\displaystyle \frac{\pi }{2n}}-1)}{n^2-1}}\mathrm{.}$$(3)

閉じた式を使わず、上の積分表示で$u=n\theta$とおくと$$n^2{\int }_{x_n}^2{f}_n(x)dx=4n{\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}\cos u\sin {\displaystyle \frac{u}{n}}du\mathrm{.}$$$$0\leqq u\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$では$$\cos {\displaystyle \frac{u}{n}}\leqq {\displaystyle \frac{\sin (u\mathrm{/}n)}{u\mathrm{/}n}}\leqq 1$$であり、左端は一様に1へ近づく。したがって、はさみうちにより$$n\sin {\displaystyle \frac{u}{n}}⟶u$$を積分区間全体で用いることができる。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{n}^2{\int }_{x_n}^2{f}_n(x)dx}& {\displaystyle =4{\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}u\cos udu}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\pi -4.}\end{array}$$