名古屋大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)

直線 $l:y=x$ と放物線 $R:y=-x^2+6$ の交点の $x$ 座標は $-x^2+6=x$ すなわち $x^2+x-6=0$ の解である。よって $x=-3,x=2$ である。この区間では放物線が直線の上にあるので，囲まれた面積 $T$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle T}& {\displaystyle ={\int }_{-3}^2\{(-x^2+6)-x\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_{-3}^2(-x^2-x+6)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+6x]}_{-3}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{125}{6}}}\end{array}$$である。

(2)

直線 $y=x+t$ と放物線 $R$ の交点の $x$ 座標は $-x^2+6=x+t$ すなわち $x^2+x+(t-6)=0$ の2解である。相異なる2点で交わるためには判別式が正であればよいから $25-4t>0$ すなわち $$0<t<{\displaystyle \frac{25}{4}}$$ である。

この2解の差を $d$ とおくと，2次方程式の解の差より $$d=\sqrt{25-4t}$$ である。直線 $y=x+t$ 上の2点 $C(t),D(t)$ の実際の距離は，$x$ 座標の差が $d$ で傾きが1だから $CD=\sqrt{2}d$ である。同様に，$A,B$ の $x$ 座標の差は $2-(-3)=5$ なので $AB=5\sqrt{2}$ である。また，2本の平行線 $y=x$ と $y=x+t$ の距離は ${\displaystyle \frac{t}{\sqrt{2}}}$ である。

したがって台形の面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(t)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}(AB+CD)\cdot {\displaystyle \frac{t}{\sqrt{2}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}(5\sqrt{2}+\sqrt{2}d)\cdot {\displaystyle \frac{t}{\sqrt{2}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{t}{2}}(5+d)}\end{array}$$である。

ここで $$d=\sqrt{25-4t}$$ より $$t={\displaystyle \frac{25-d^2}{4}}$$ であり，$$0<t<{\displaystyle \frac{25}{4}}$$ は $0<d<5$ に対応する。よって $$S(t)={\displaystyle \frac{25-d^2}{8}}(5+d)={\displaystyle \frac{(5-d)(5+d{)}^2}{8}}$$ である。これを $d$ の関数として $S={\displaystyle \frac{1}{8}}(5-d)(5+d{)}^2$ と見ると，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{dS}{dd}}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{8}}\{-(5+d{)}^2+2(5-d)(5+d)\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{8}}(5+d)(5-3d)}\end{array}$$である。$0<d<5$ では $5+d>0$ なので，最大となるのは $d={\displaystyle \frac{5}{3}}$ のときである。このとき$$S_{\max }={\displaystyle \frac{1}{8}}(5-{\displaystyle \frac{5}{3}}){(5+{\displaystyle \frac{5}{3}})}^2={\displaystyle \frac{1000}{27}}$$である。

したがって $$f(t)={\displaystyle \frac{S(t)}{T}}$$ の最大値は $${\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1000}{27}}}{{\displaystyle \frac{125}{6}}}}={\displaystyle \frac{16}{9}}$$ である。

(1) の面積は交点間隔だけで計算する。(2)では平行な2弦の長さと直線間距離から $S(t)$ を作り、置換をせず $t$ のまま微分する。根号を含む微分なので、停留条件を整理してから両辺の符号を確認して2乗する。

(1)

交点の $x$ 座標は $-3,2$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle T}& {\displaystyle ={\int }_{-3}^2(-x^2-x+6)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{125}{6}}\mathrm{.}}\end{array}$$(2)

$y=x+t$ と放物線との交点の $x$ 座標差は$$d=\sqrt{25-4t},0<t<{\displaystyle \frac{25}{4}}$$である。2本の弦の長さと平行線間距離から$$S(t)={\displaystyle \frac{t}{2}}(5+\sqrt{25-4t})$$を得る。これを微分すると$$S^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{5+\sqrt{25-4t}}{2}}-{\displaystyle \frac{t}{\sqrt{25-4t}}}\mathrm{.}$$$$u=\sqrt{25-4t}$$ と略記すれば、$S^{\mathrm{\prime }}(t)=0$ は$$u(5+u)=2t={\displaystyle \frac{25-u^2}{2}}$$と同値である。整理して$$3u^2+10u-25=0$$となり、$u>0$ だから $u={\displaystyle \frac{5}{3}}$ である。$S^{\mathrm{\prime }}(t)$ はこの点の前後で正から負へ変わるので最大である。このとき$$S_{\max }={\displaystyle \frac{1000}{27}}$$であり、$$\max f(t)={\displaystyle \frac{S_{\max }}{T}}={\displaystyle \frac{1000}{27}}\cdot {\displaystyle \frac{6}{125}}={\displaystyle \frac{16}{9}}\mathrm{.}$$