名古屋大学 2005年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1) $f(x)=\mathrm{\mid }{e}^{-x}\sin x\mathrm{\mid }$ であり，$e^{-x}>0$ なので，$f(x)=0$ は $\sin x=0$ と同値である。したがって $0\leqq x\leqq 2\pi$ では $$x=0,\pi ,2\pi$$ である。

次に極大値を与える $x$ を求める。$0<x<\pi$ では $\sin x>0$ なので $f(x)=e^{-x}\sin x$ である。微分すると $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=e^{-x}(\cos x-\sin x)$$ である。よって $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ は $\cos x=\sin x$ であり，$0<x<\pi$ では $$x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$$ である。符号を見れば，ここで極大となる。 $\pi <x<2\pi$ では $\sin x<0$ なので $f(x)=-e^{-x}\sin x$ である。微分すると $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=e^{-x}(\sin x-\cos x)$$ であり，$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ から $\sin x=\cos x$ を得る。この区間では $$x={\displaystyle \frac{5\pi }{4}}$$ であり，ここで極大となる。

(2) $$\int e^{-x}\sin xdx$$ を求める。$-{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{-x}(\sin x+\cos x)$ を微分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\{-{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{-x}(\sin x+\cos x)\}}^{\mathrm{\prime }}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{-x}(\sin x+\cos x)-{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{-x}(\cos x-\sin x)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =e^{-x}\sin x}\end{array}$$である。したがって $$\int e^{-x}\sin xdx=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{-x}(\sin x+\cos x)+C$$ である。

(3)

まず1区間分を計算する。$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }{e}^{-x}\sin xdx}& {\displaystyle ={[-{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{-x}(\sin x+\cos x)]}_0^{\pi }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{-\pi }+{\displaystyle \frac{1}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1+e^{-\pi }}{2}}}\end{array}$$である。 $$(n-1)\pi \leqq x\leqq n\pi$$ で $$x=(n-1)\pi +u(0\leqq u\leqq \pi )$$ とおく。このとき $$e^{-x}=e^{-(n-1)\pi }{e}^{-u}$$ であり，$$\mathrm{\mid }\sin ((n-1)\pi +u)\mathrm{\mid }=\sin u$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_n}& {\displaystyle =e^{-(n-1)\pi }{\int }_0^{\pi }{e}^{-u}\sin udu}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1+e^{-\pi }}{2}}{e}^{-(n-1)\pi }}\end{array}$$である。

(4)

(3) より $S_n$ は初項 ${\displaystyle \frac{1+e^{-\pi }}{2}}$ 公比 $e^{-\pi }$ の等比数列である。$0<e^{-\pi }<1$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{S}_n}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1+e^{-\pi }}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{1-e^{-\pi }}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{e^{\pi }+1}{2(e^{\pi }-1)}}}\end{array}$$である。

絶対値関数が $f(x+\pi )=e^{-\pi }f(x)$ を満たすことから、面積列の公比を先に得る。初項だけを積分して等比級数を完成させる。不定積分は部分積分を2回行って求める。

(1)

$e^{-x}>0$ だから零点は $\sin x=0$ より$$x=0,\pi ,2\pi \mathrm{.}$$$0<x<\pi$ では $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=e^{-x}(\cos x-\sin x)$$、
$\pi <x<2\pi$ では $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=e^{-x}(\sin x-\cos x)$$ である。符号変化も確認すると極大点は$$x={\displaystyle \frac{\pi }{4}},x={\displaystyle \frac{5\pi }{4}}\mathrm{.}$$(2)$$I=\int e^{-x}\sin xdx$$とする。部分積分を2回行うと$$I=-e^{-x}\sin x+\int e^{-x}\cos xdx=-e^{-x}\sin x-e^{-x}\cos x-I\mathrm{.}$$したがって$$I=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{-x}(\sin x+\cos x)+C\mathrm{.}$$(3)$$f(x+\pi )=\mid e^{-(x+\pi )}\sin (x+\pi )\mid =e^{-\pi }f(x)\mathrm{.}$$よって隣り合う区間の面積には$$S_{n+1}=e^{-\pi }{S}_n$$が成り立つ。一方$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_1}& {\displaystyle ={\int }_0^{\pi }{e}^{-x}\sin xdx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1+e^{-\pi }}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$S_n={\displaystyle \frac{1+e^{-\pi }}{2}}{e}^{-(n-1)\pi }\mathrm{.}$$(4)

$0<e^{-\pi }<1$ なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{S}_n}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1+e^{-\pi }}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{1-e^{-\pi }}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{e^{\pi }+1}{2(e^{\pi }-1)}}\mathrm{.}}\end{array}$$