名古屋大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)

直線 $l:y=2x$ と放物線 $R:y=-x^2+3$ の交点の $x$ 座標は $-x^2+3=2x$ すなわち $x^2+2x-3=0$ の解である。したがって $x=-3,x=1$ である。この区間では放物線が直線の上にあるので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle T}& {\displaystyle ={\int }_{-3}^1\{(-x^2+3)-2x\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_{-3}^1(-x^2-2x+3)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}-x^2+3x]}_{-3}^1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{32}{3}}}\end{array}$$である。

(2)

直線 $y=2x+t$ と放物線 $R$ の交点の $x$ 座標は $-x^2+3=2x+t$ すなわち $x^2+2x+(t-3)=0$ の2解である。相異なる2点で交わる条件は $16-4t>0$ だから $0<t<4$ である。

この2解の差を $d$ とおくと $$d=\sqrt{16-4t}$$ である。直線の傾きが2なので，$x$ 座標の差が $d$ のとき，弦 $CD$ の長さは $CD=\sqrt{5}d$ である。また $AB$ の $x$ 座標の差は $1-(-3)=4$ だから $AB=4\sqrt{5}$ である。2直線 $y=2x$ と $y=2x+t$ の距離は ${\displaystyle \frac{t}{\sqrt{5}}}$ である。

したがって台形の面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(t)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}(AB+CD)\cdot {\displaystyle \frac{t}{\sqrt{5}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}(4\sqrt{5}+\sqrt{5}d)\cdot {\displaystyle \frac{t}{\sqrt{5}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{t}{2}}(4+d)}\end{array}$$である。

ここで $$d=\sqrt{16-4t}$$ より $$t={\displaystyle \frac{16-d^2}{4}}$$ であり，$0<t<4$ は $0<d<4$ に対応する。よって $$S(t)={\displaystyle \frac{16-d^2}{8}}(4+d)={\displaystyle \frac{(4-d)(4+d{)}^2}{8}}$$ である。これを $d$ で微分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{dS}{dd}}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{8}}\{-(4+d{)}^2+2(4-d)(4+d)\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{8}}(4+d)(4-3d)}\end{array}$$である。$0<d<4$ では $4+d>0$ なので，最大となるのは $d={\displaystyle \frac{4}{3}}$ のときである。このとき$$S_{\max }={\displaystyle \frac{1}{8}}(4-{\displaystyle \frac{4}{3}}){(4+{\displaystyle \frac{4}{3}})}^2={\displaystyle \frac{512}{27}}$$である。したがって $$f(t{)}_{\max }={\displaystyle \frac{S_{\max }}{T}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{512}{27}}}{{\displaystyle \frac{32}{3}}}}={\displaystyle \frac{16}{9}}$$ である。

台形の底辺となる2弦の長さを求め、面積を $t$ の式にする。根号を含む $S(t)$ を直接微分し、正の根だけを残して最大値を求める。

(1)

交点の $x$ 座標は $-3,1$ であるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle T}& {\displaystyle ={\int }_{-3}^1(-x^2-2x+3)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{32}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$(2)

$y=2x+t$ が放物線から切り取る弦の $x$ 座標差を $d$ とすると$$d=\sqrt{16-4t},0<t<4.$$弦の実長には $\sqrt{5}$、平行線間距離には ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}$ が掛かるので$$S(t)={\displaystyle \frac{t}{2}}(4+\sqrt{16-4t})\mathrm{.}$$微分して$$S^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{4+\sqrt{16-4t}}{2}}-{\displaystyle \frac{t}{\sqrt{16-4t}}}\mathrm{.}$$$$u=\sqrt{16-4t}>0$$ とおくと、停留条件は$$u(4+u)=2t={\displaystyle \frac{16-u^2}{2}},$$すなわち$$3u^2+8u-16=0.$$正の解は $u={\displaystyle \frac{4}{3}}$ である。ここで $S^{\mathrm{\prime }}(t)$ は正から負へ変わるから$$S_{\max }={\displaystyle \frac{512}{27}}\mathrm{.}$$よって$$\max f(t)={\displaystyle \frac{512}{27}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{32}}={\displaystyle \frac{16}{9}}\mathrm{.}$$