名古屋大学 2006年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1) ${\theta }_1=\theta$ とおく。$0<\theta <\pi \mathrm{/}2$ である。$C_1$ では $${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{\cos \theta }{-\sin \theta }}=-{\displaystyle \frac{1}{\tan \theta }}$$ である。直線 $P_{1}P$ は負の傾きをもつので，$x$ 軸とのなす鋭角 $\beta$ について $$\tan \beta ={\displaystyle \frac{1}{\tan {\theta }_1}}$$ である。

また $${\theta }_2=\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ である。$C_2$ では $${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{3\cos {\theta }_2}{-\sin {\theta }_2}}\mathrm{.}$$ ここで $\cos {\theta }_2=\sin \theta$，$$\sin {\theta }_2=-\cos \theta$$ だから $${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=3\tan \theta \mathrm{.}$$ したがって $$\tan \gamma =3\tan {\theta }_1$$ である。

(2)
2つの接線の傾きを $$m_1=-{\displaystyle \frac{1}{\tan \theta }},m_2=3\tan \theta$$ とする。$m_1{m}_2=-3$ であり，2本の直線の交わり方から $\mathrm{\angle }{P}_{1}P{P}_2=\alpha$ は鈍角である。傾き $m_1,m_2$ の2直線のなす角の公式より$$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{m_2-m_1}{1+m_1{m}_2}}={\displaystyle \frac{3\tan \theta +{\displaystyle \frac{1}{\tan \theta }}}{1-3}}\mathrm{.}$$よって $$\tan \alpha =-{\displaystyle \frac{1+3{\tan }^2{\theta }_1}{2\tan {\theta }_1}}$$ である。

(3) $u=\tan {\theta }_1$ とおくと $u>0$ であり，$$\tan \alpha =-{\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{u}}+3u)$$ である。相加相乗平均より ${\displaystyle \frac{1}{u}}+3u\geqq 2\sqrt{3}$ であり，等号は $1\mathrm{/}u=3u$，すなわち $u=1\mathrm{/}\sqrt{3}$ のとき成り立つ。したがって負号が付いていることに注意すると，$\tan \alpha$ はこのとき最大になり，$$\max \tan \alpha =-\sqrt{3}$$ である。また $\tan {\theta }_1=1\mathrm{/}\sqrt{3}$，$0<{\theta }_1<\pi \mathrm{/}2$ より $${\theta }_1={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$$ である。