岡山大学 2016年度 前期文系数学 第3問

(1)
$OA=u$，$OB=v$であり，$$\mathrm{\angle }AOB=\frac{(w+2)\pi }{12}$$である。$w=1,2,3,4,5,6$に対して，この角は$$\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{12},\frac{\pi }{2},\frac{7\pi }{12},\frac{2\pi }{3}$$である。

$\mathrm{△}OAB$が正三角形となるには，$OA=OB$かつ$$\mathrm{\angle }AOB=\frac{\pi }{3}$$であればよい。したがって$u=v$，$w=2$である。$u=v$の選び方は6通りであるから，有利な場合は6通りである。全事象は$6^3=216$通りなので，求める確率は$$\frac{6}{216}=\frac{1}{36}$$である。

(2)
直角三角形で大きさ$\frac{\pi }{3}$の内角をもつなら，内角は$\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{6}$である。上に列挙した$\mathrm{\angle }AOB$の候補から，可能性があるのは$$\mathrm{\angle }AOB=\frac{\pi }{3}$$または$$\mathrm{\angle }AOB=\frac{\pi }{2}$$である。

まず$$\mathrm{\angle }AOB=\frac{\pi }{2}$$のとき，直角は$O$である。残りの角の一方が$\frac{\pi }{3}$になるには，直角三角形の2辺の比が$1:\sqrt{3}$でなければならない。しかし$u,v$は整数なので，$u:v=1:\sqrt{3}$または$\sqrt{3}:1$は起こらない。

次に$$\mathrm{\angle }AOB=\frac{\pi }{3}$$，すなわち$w=2$の場合を考える。直角が$A$にある条件は$$\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{AB}=0$$である。これは$$-u(v\cos (\pi \mathrm{/}3)-u)=0$$より$$u=\frac{v}{2}$$，すなわち$v=2u$である。$u=1,2,3$の3通りである。

直角が$B$にある条件は$$\overrightarrow{BO}\cdot \overrightarrow{BA}=0$$であり，これは$$v=\frac{u}{2}$$，すなわち$u=2v$である。$v=1,2,3$の3通りである。

したがって有利な場合は合計6通りであり，求める確率は$$\frac{6}{216}=\frac{1}{36}$$である。

(1) は $OA=u$，$OB=v$，$\mathrm{\angle }AOB=(w+2)\pi \mathrm{/}12$ を読み取る。(2) は直角三角形の角が $\pi \mathrm{/}6,\pi \mathrm{/}3,\pi \mathrm{/}2$ であることから $w$ を絞り，余弦定理で直角の位置ごとの整数条件を求める。

(1) $OA=u$，$OB=v$ であり，$$\theta =\mathrm{\angle }AOB=\frac{(w+2)\pi }{12}$$とおく。$w=1,2,\dots ,6$ に対する $\theta$ は$$\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{12},\frac{\pi }{2},\frac{7\pi }{12},\frac{2\pi }{3}$$である。正三角形となる条件は $u=v$ かつ $\theta =\pi \mathrm{/}3$，すなわち $u=v$，$w=2$ である。該当する $(u,v,w)$ は6通りなので，確率は$$\frac{6}{6^3}=\frac{1}{36}\mathrm{.}$$(2) 条件を満たす直角三角形の3内角は $\pi \mathrm{/}6,\pi \mathrm{/}3,\pi \mathrm{/}2$ である。上の候補と比べると，$O$ の角は $\pi \mathrm{/}3$ または $\pi \mathrm{/}2$ に限られる。

まず $\theta =\pi \mathrm{/}2$，すなわち $w=4$ のとき，$u,v$ は直角を挟む2辺である。残りの角が $\pi \mathrm{/}3$ となるには $u:v=1:\sqrt{3}$ または $\sqrt{3}:1$ が必要だが，正の整数 $u,v$ では不可能である。

次に $\theta =\pi \mathrm{/}3$，すなわち $w=2$ とする。余弦定理より$$A{B}^2=u^2+v^2-uv\mathrm{.}$$直角が $A$ にあるときは $OB$ が斜辺なので，$$v^2=u^2+A{B}^2=2u^2+v^2-uv$$より $v=2u$ である。$(u,v)=(1,2),(2,4),(3,6)$ の3通りを得る。直角が $B$ にあるときも同様に $u=2v$ で3通りである。両者は重ならないから，有利な場合は6通りであり，$$\frac{6}{6^3}=\frac{1}{36}$$が求める確率である。