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岡山大学 2017年度 前期文系数学 第4問

座標平面の原点をO(0,0)とする．以下の問いに答えよ．

(1)
座標平面上の異なる3点P,Q,RがOP→⋅RQ→+∣OR→∣2−OR→⋅OQ→=0を満たしているとする．このときRP→⊥RQ→となることを示せ．

(2)
点Qの座標を(3,4)とし，点Rは∣OR→∣=1を満たしているとする．さらに，∣OP→∣≦1を満たすすべての点Pに対してOP→⋅RQ→+∣OR→∣2−OR→⋅OQ→≦0が成り立っているとする．このとき点Rの座標を求めよ．

難易度6/ 10計算量5/ 10目安18分

ベクトル、図形と方程式　内積の利用、範囲評価、必要十分条件

方針

各点の位置ベクトルをp⃗,q⃗,r⃗とおき，条件式を(p⃗−r⃗)⋅(q⃗−r⃗)=0に変形する。(2)は∣p⃗∣≦1での内積の最大値が∣q⃗−r⃗∣になることを使い，r⃗⋅q⃗を未知量として評価する。

解答

(1) OP→=p⃗，OQ→=q⃗，OR→=r⃗とおく。するとRQ→=q⃗−r⃗，RP→=p⃗−r⃗である。

与えられた条件はp⃗⋅(q⃗−r⃗)+∣r⃗∣2−r⃗⋅q⃗=0である。左辺は(p⃗−r⃗)⋅(q⃗−r⃗)に等しい。したがってRP→⋅RQ→=0であり，RP→⊥RQ→である。

(2)
q⃗=(3,4)，∣r⃗∣=1とする。条件式の左辺はp⃗⋅(q⃗−r⃗)+1−r⃗⋅q⃗である。∣p⃗∣≦1を満たすすべてのp⃗についてこれが0以下であるための条件は，p⃗⋅(q⃗−r⃗)の最大値を考えて∣q⃗−r⃗∣+1−r⃗⋅q⃗≦0である。

ここでc=r⃗⋅q⃗とおく。∣q⃗∣=5，∣r⃗∣=1よりc≦5であり，∣q⃗−r⃗∣2=∣q⃗∣2+∣r⃗∣2−2r⃗⋅q⃗=26−2cである。上の条件はc≧1+26−2cである。特にc≧1であるから両辺を2乗して(c−1)2≧26−2cすなわちc2≧25を得る。c≦5だからc=5でなければならない。r⃗⋅q⃗=5=∣r⃗∣∣q⃗∣であるから，r⃗はq⃗と同じ向きの単位ベクトルである。よってr⃗=q⃗5=(35,45)である。したがって点Rの座標は(35,45)である。

別解

解法2

方針

(1) はOP→=OR→+RP→などを代入して直交条件を一行で得る。(2)は単位円板の支持直線として幾何的に読み，法線方向を決める。

解答

(1) OP→=OR→+RP→,OQ→=OR→+RQ→を条件式の左辺に代入すると，OR→を含む項がすべて相殺されてRP→⋅RQ→=0となる。よってRP→⊥RQ→である。

(2)
条件は，単位円板内のすべての点PについてRP→⋅RQ→≦0が成り立つことと同値である。点Rは単位円上にあるので，Rを通りRQに垂直な直線は単位円板の支持直線でなければならない。単位円のRにおける外向き法線はOR→だから，あるλ≧0についてRQ→=λOR→となる。したがってOQ→=(1+λ)OR→である。∣OQ∣=5,∣OR∣=1より1+λ=5であり，OR→=15(3,4)を得る。よってR(35,45)である。

総評

難度6，計算量5。想定時間は18分程度。(1)の内積変形が(2)の見通しにもつながる。∣p⃗∣≦1での最大値を用いる部分が差のつく点で，最後はコーシー・シュワルツを名前だけで済ませず，等号条件として同方向を確認するのが重要である。

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出典: 岡山大学 2017年度 前期 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。