大阪大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $$y=x(x-1)(x-a)=x^3-(a+1)x^2+ax$$ であるから、原点 $O$ における接線は $l:y=ax$ である。

接線と曲線の交点は $x(x-1)(x-a)=ax$ を満たす。左辺を整理すると $$x\{(x-1)(x-a)-a\}=x\{x^2-(a+1)x\}=x^2(x-a-1)$$ である。したがって、原点以外の交点は $a\mathrm{\ne }-1$ のとき $P=(a+1,a(a+1))$ である。点 $Q$ は $Q=(a+1,0)$ だから、三角形 $OPQ$ の面積は $$S_1={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\mid }(a+1)a(a+1)\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }(a+1{)}^2}{2}}$$ である。

また、接線と曲線の縦の差は $$ax-x(x-1)(x-a)=x^2(a+1-x)$$ である。したがって曲線 $C$ と接線 $l$ で囲まれる図形の面積は$$S_2=\mid {\int }_0^{a+1}{x}^2(a+1-x)dx\mid$$である。積分すると$${\int }_0^{a+1}{x}^2(a+1-x)dx={[{\displaystyle \frac{a+1}{3}}{x}^3-{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^4]}_0^{a+1}={\displaystyle \frac{(a+1{)}^4}{12}}$$となるので $$S_2={\displaystyle \frac{(a+1{)}^4}{12}}$$ である。

(2)
問題の条件で $O$ 以外の点 $P$ が存在するから、$a\mathrm{\ne }-1$ である。$S_1=S_2$ より $${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }(a+1{)}^2}{2}}={\displaystyle \frac{(a+1{)}^4}{12}}$$ である。$a\mathrm{\ne }-1$ なので $(a+1{)}^2$ で割れて、$6\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=(a+1{)}^2$ を得る。 $a>0$ のときは $6a=(a+1{)}^2$ であり、$a^2-4a+1=0$ となる。よって $a=2\pm \sqrt{3}$ である。 $a<0$ のときは $-6a=(a+1{)}^2$ であり、$a^2+8a+1=0$ となる。よって $$a=-4\pm \sqrt{15}$$ である。
これらはいずれも $a\mathrm{\ne }0$, $a\mathrm{\ne }-1$ を満たす。

したがって求める値は $$a=2\pm \sqrt{3},a=-4\pm \sqrt{15}$$ である。
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再交点の横座標を $b=a+1$ とおく。接線と曲線の差は $x^2(b-x)$ なので、
$x=bs$ と尺度をそろえると、符号によらず面積が $b^4\mathrm{/}12$ と一度に求まる。
三角形の面積も $b$ で表し、最後に $a$ の符号で二次方程式を解く。

(1) 曲線を展開すると$$y=x^3-(a+1)x^2+ax$$だから、原点での接線は $l:y=ax$ である。曲線と接線の交点では$$x(x-1)(x-a)-ax=x^2(x-a-1)=0.$$よって $O$ 以外の交点が存在する条件は $a\mathrm{\ne }-1$ であり、
$b=a+1$ とおけば $P=(b,ab)$, $Q=(b,0)$ となる。したがって$$S_1={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\mid }b\cdot ab\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }{b}^2}{2}}\mathrm{.}$$接線の高さから曲線の高さを引くと $x^2(b-x)$ である。$x=bs$ と置けば、
$b$ の正負にかかわらず向きも含めて$${\int }_0^b{x}^2(b-x)dx=b^4{\int }_0^1{s}^2(1-s)ds={\displaystyle \frac{b^4}{12}}\mathrm{.}$$右辺は正だから$$S_2={\displaystyle \frac{b^4}{12}}={\displaystyle \frac{(a+1{)}^4}{12}}\mathrm{.}$$(2) $a\mathrm{\ne }-1$ より $b\mathrm{\ne }0$ である。$S_1=S_2$ を
$b^2$ で割ると$$6\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=(a+1{)}^2$$を得る。$a>0$ では $a^2-4a+1=0$、
$a<0$ では $a^2+8a+1=0$ となる。したがって$$a=2\pm \sqrt{3},a=-4\pm \sqrt{15}\mathrm{.}$$