大阪大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

$(1)$$$h(x)=x\log x-\{(1+\log k)(x-k)+k\log k\}$$とおく。このとき$$h^{\mathrm{\prime }}(x)=\log {\displaystyle \frac{x}{k}}\mathrm{.}$$したがって $1\leqq x<k$ では $h^{\mathrm{\prime }}(x)<0$、$x>k$ では $h^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ であり、$h$ は $x=k$ で最小になる。$h(k)=0$ だから$$x\log x\geqq (1+\log k)(x-k)+k\log k$$が成り立つ。

この関係は、曲線 $y=x\log x$ が $x=k$ における接線より上にあることを表す。

$(2)$ (1)の不等式を、次の区間について積分する。$$k-{\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq x\leqq k+{\displaystyle \frac{1}{2}}$$対称性により$${\int }_{k-{\displaystyle \frac{1}{2}}}^{k+{\displaystyle \frac{1}{2}}}(1+\log k)(x-k)dx=0$$であり、等号成立は一点だけだから$${\int }_{k-{\displaystyle \frac{1}{2}}}^{k+{\displaystyle \frac{1}{2}}}x\log xdx>k\log k\mathrm{.}$$これを $k=2,3,\dots ,n$ について加えると$$a_n<{\int }_{{\displaystyle \frac{3}{2}}}^{n+{\displaystyle \frac{1}{2}}}x\log xdx\mathrm{.}$$次に$$\int x\log xdx={\displaystyle \frac{x^2}{2}}(\log x-{\displaystyle \frac{1}{2}})$$である。$N=n+1\mathrm{/}2$ とおけば$${\int }_{{\displaystyle \frac{3}{2}}}^{N}x\log xdx={\displaystyle \frac{N^2}{2}}(\log N-{\displaystyle \frac{1}{2}})-{\displaystyle \frac{9}{8}}(\log {\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}})\mathrm{.}$$$\log (3\mathrm{/}2)>0$ より$$-{\displaystyle \frac{9}{8}}(\log {\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}})<{\displaystyle \frac{9}{16}}<1.$$したがって$${\int }_{{\displaystyle \frac{3}{2}}}^{n+{\displaystyle \frac{1}{2}}}x\log xdx<{\displaystyle \frac{1}{2}}{(n+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2\{\log (n+{\displaystyle \frac{1}{2}})-{\displaystyle \frac{1}{2}}\}+1.$$以上で二つの不等式が示された。

(1) では $u=x\mathrm{/}k$ として差を $k(u\log u-u+1)$ にする。(2)では $g(k+t)+g(k-t)$ を微分し、中点の値より大きいことを直接示す。

$(1)$ $u=x\mathrm{/}k>0$ とおくと、左辺から右辺を引いた差は$$k(u\log u-u+1)$$である。$\varphi (u)=u\log u-u+1$ とおけば$${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(u)=\log u\mathrm{.}$$よって $\varphi$ は $u=1$ で最小値 $0$ をとる。したがって差は0以上であり、求める不等式が成り立つ。

$(2)$ $g(x)=x\log x$ とおく。$0<t\leqq 1\mathrm{/}2$ に対し$$q(t)=g(k+t)+g(k-t)-2g(k)$$とおくと$$q^{\mathrm{\prime }}(t)=g^{\mathrm{\prime }}(k+t)-g^{\mathrm{\prime }}(k-t)=\log {\displaystyle \frac{k+t}{k-t}}>0.$$しかも $q(0)=0$ だから $q(t)>0$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{k-{\displaystyle \frac{1}{2}}}^{k+{\displaystyle \frac{1}{2}}}g(x)dx-k\log k}& {\displaystyle ={\int }_0^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}\{g(k+t)+g(k-t)-2g(k)\}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle >0.}\end{array}$$これを $k=2,3,\dots ,n$ について加えて$$a_n<{\int }_{{\displaystyle \frac{3}{2}}}^{n+{\displaystyle \frac{1}{2}}}x\log xdx$$を得る。

上側については原始関数$$G(x)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}(\log x-{\displaystyle \frac{1}{2}})$$を用いる。$N=n+1\mathrm{/}2$ とすれば$${\int }_{{\displaystyle \frac{3}{2}}}^{N}x\log xdx=G(N)-G\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)\mathrm{.}$$また$$-G\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)=-{\displaystyle \frac{9}{8}}(\log {\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}})<{\displaystyle \frac{9}{16}}<1.$$ゆえに$${\int }_{{\displaystyle \frac{3}{2}}}^{n+{\displaystyle \frac{1}{2}}}x\log xdx<{\displaystyle \frac{1}{2}}{(n+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2\{\log (n+{\displaystyle \frac{1}{2}})-{\displaystyle \frac{1}{2}}\}+1.$$