大阪大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

曲線を $C:y=x^3-x$ とする。$y^{\mathrm{\prime }}=3x^2-1$ より、$(-1,0)$ における接線は$$l:y=2x+2.$$交点の $x$ 座標は$$x^3-x=2x+2⟺(x+1{)}^2(x-2)=0$$から $-1,2$ である。全体の面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^2\{2x+2-(x^3-x)\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{27}{4}}\mathrm{.}}\end{array}$$直線 $m$ と $l$ の交点の $x$ 座標を $u$ とする。その交点は $(u,2u+2)$ で、$m$ は $(1,0)$ を通るから$$m:y={\displaystyle \frac{2(u+1)}{u-1}}(x-1)\mathrm{.}$$点 $(1,0)$ を含む側の面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle K(u)=}& {\displaystyle {\int }_u^1\{{\displaystyle \frac{2(u+1)}{u-1}}(x-1)-(x^3-x)\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\int }_1^2\{2x+2-(x^3-x)\}dx\mathrm{.}}\end{array}$$計算すると$$K(u)={\displaystyle \frac{u^4-6u^2+16}{4}}\mathrm{.}$$面積を2等分する条件 $K(u)=S\mathrm{/}2=27\mathrm{/}8$ は$$2u^4-12u^2+5=0,$$すなわち$$u^2=3\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{26}}{2}}\mathrm{.}$$切断点が領域の境界上にあるためには $-1<u<2$ が必要である。よって大きい方の根は除かれ$$u=\pm \sqrt{3-{\displaystyle \frac{\sqrt{26}}{2}}}\mathrm{.}$$したがって求める2直線は$$y={\displaystyle \frac{2(u+1)}{u-1}}(x-1),u=\pm \sqrt{3-{\displaystyle \frac{\sqrt{26}}{2}}}$$である。

2本の直線はいずれも $(1,0)$ を通り、色領域を二等分する

$m$ と $l$ の交点を $(u,2u+2)$ とする。右側部分を、区間 $[u,2]$ の接線と曲線の間の面積から、$l,m$ に挟まれる三角形の面積を引いて求める。

接線は $l:y=2x+2$ であり、全体面積は$$S={\int }_{-1}^2(-x^3+3x+2)dx={\displaystyle \frac{27}{4}}\mathrm{.}$$$m\cap l=(u,2u+2)$ とおくと$$m:y={\displaystyle \frac{2(u+1)}{u-1}}(x-1)\mathrm{.}$$区間 $[u,2]$ における $l,C$ 間の面積を $T(u)$ とする。$x=1$ での $l,m$ の縦の差は4だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle T(u)}& {\displaystyle ={\int }_u^2(-x^3+3x+2)dx,}\\ {\displaystyle \text{三角形の面積}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}(1-u)\cdot 4=2(1-u),}\\ {\displaystyle K(u)}& {\displaystyle =T(u)-2(1-u)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{u^4-6u^2+16}{4}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle K(u)={\displaystyle \frac{27}{8}}}& {\displaystyle ⟺2u^4-12u^2+5=0}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ⟺u^2=3\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{26}}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$$-1<u<2$ を満たす根だけを取ると、求める2直線は$$y={\displaystyle \frac{2(u+1)}{u-1}}(x-1),u=\pm \sqrt{3-{\displaystyle \frac{\sqrt{26}}{2}}}\mathrm{.}$$である。十分性も確認する。$m$ の傾きを $s=2(u+1)\mathrm{/}(u-1)$ とおく。候補はいずれも $\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }<7\mathrm{/}10$ なので $s<-1\mathrm{/}4\leqq x^2+x$ であり、$u\leqq x\leqq 1$ では$$m(x)-C(x)=(x-1)(s-x^2-x)\geqq 0.$$よって、どちらも実際に領域を2分する。