大阪大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

三倍角・二倍角の公式を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle =\cos 3x-4\cos 2x+\cos x}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4{\cos }^{3}x-8{\cos }^{2}x-2\cos x+4}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2(\cos x-2)(2{\cos }^{2}x-1)\mathrm{.}}\end{array}$$区間内では $-1\leqq \cos x\leqq 1$ だから $\cos x-2<0$ である。したがって$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0⟺\cos x=\pm {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},$$すなわち$$x={\displaystyle \frac{\pi }{4}},x={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$$である。導関数の符号は順に負、正、負となる。

端点と臨界点での値は$$f(0)=f(\pi )=0,$$$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f\left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{3}}\sin {\displaystyle \frac{3\pi }{4}}-2\sin {\displaystyle \frac{\pi }{2}}+\sin {\displaystyle \frac{\pi }{4}}=-2+{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}},}\\ {\displaystyle f\left({\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\right)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{3}}\sin {\displaystyle \frac{9\pi }{4}}-2\sin {\displaystyle \frac{3\pi }{2}}+\sin {\displaystyle \frac{3\pi }{4}}=2+{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$\text{最大値 }2+{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}},\text{最小値 }-2+{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}\mathrm{.}$$

三角関数を $\sin x$ と $\cos x$ にまとめ、$u=\cos x$ と置く。閉区間 $[-1,1]$ 上の関数として微分し、候補値を比較する。

区間 $0\leqq x\leqq \pi$ では $\sin x\geqq 0$ である。三倍角・二倍角の公式から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{3}}\sin x(4{\cos }^{2}x-1)-4\sin x\cos x+\sin x}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{3}}\sin x(2{\cos }^{2}x-6\cos x+1)\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $u=\cos x$ とおくと、$-1\leqq u\leqq 1$ で$$F(u)={\displaystyle \frac{2}{3}}\sqrt{1-u^2}(2u^2-6u+1)$$の最大・最小を求めればよい。$-1<u<1$ で微分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F^{\mathrm{\prime }}(u)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{3\sqrt{1-u^2}}}\{(4u-6)(1-u^2)-u(2u^2-6u+1)\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{2(u-2)(2u^2-1)}{\sqrt{1-u^2}}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって内部の停留点は$$u=\pm {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$$だけである。端点では $F(\pm 1)=0$ であり、$$F\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\right)=-2+{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}},F(-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})=2+{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}\mathrm{.}$$以上より$$\text{最大値 }2+{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}},\text{最小値 }-2+{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}\mathrm{.}$$