大阪大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1) $$U=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right),U^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ -{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right)\mathrm{.}$$順に掛けると$$UA{U}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}8& 0\\ 0& 4\end{array}\right)\mathrm{.}$$(2)
点 $(x,y)$ が $(X,Y)$ に移るとすると$$X=7x-\sqrt{3}y,Y=-\sqrt{3}x+5y\mathrm{.}$$したがって$$Y-\sqrt{3}X=8(y-\sqrt{3}x)\mathrm{.}$$元の直線上では $y-\sqrt{3}x=1$ であるから、像は$$Y-\sqrt{3}X=8.$$よって求める直線は$$y=\sqrt{3}x+8\mathrm{.}$$回転後の座標軸が $A$ の2つの固有方向になる（直線の間隔は模式的）

行列の2つの伸縮方向を見つけ、${30}^{\circ }$ 回転後に座標軸へ一致することを使う。直線の像は、方向ベクトルの像と1点の像から決める。

(1)
長さ1の2方向$${\mathit{e}}_8=({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},-{\displaystyle \frac{1}{2}}),{\mathit{e}}_4=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$$を調べると$$A{\mathit{e}}_8=8{\mathit{e}}_8,A{\mathit{e}}_4=4{\mathit{e}}_4\mathrm{.}$$また、$U$ は ${\mathit{e}}_8$ を $(1,0)$ へ、${\mathit{e}}_4$ を $(0,1)$ へ移す。したがって、回転後の座標では第1軸方向を8倍、第2軸方向を4倍するので$$UA{U}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}8& 0\\ 0& 4\end{array}\right)$$である。

(2)
元の直線の方向は $$(1,\sqrt{3})=2{\mathit{e}}_4$$ であるから、$A$ を施しても方向は変わらず4倍される。よって像の傾きも $\sqrt{3}$ である。

元の直線上の点 $(0,1)$ の像は$$A\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\sqrt{3}\\ 5\end{array}\right)\mathrm{.}$$したがって像は $(-\sqrt{3},5)$ を通り、傾きが $\sqrt{3}$ の直線である。ゆえに$$y=\sqrt{3}x+8\mathrm{.}$$