大阪大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)
行列$$A=\left(\begin{array}{cc}r\cos \theta & -r\sin \theta \\ r\sin \theta & r\cos \theta \end{array}\right)$$は、原点のまわりに角 $\theta$ だけ回転し、長さを $r$ 倍する変換を表す。したがって $A^6$ は、角 $6\theta$ の回転と $r^6$ 倍の拡大を表す。 $A^6=I$ より $r^6=1$ である。$r>0$ だから $r=1$ である。また回転角について $6\theta =2m\pi$ となる整数 $m$ が存在するので $$\theta ={\displaystyle \frac{m\pi }{3}}$$ である。範囲 $0\leqq \theta <2\pi$ より $m=0,1,2,3,4,5$ を考えればよい。

さらに $1\leqq n<6$ で $A^n\mathrm{\ne }I$ であるためには、回転の周期がちょうど6でなければならない。つまり $m$ と $6$ が互いに素である必要がある。よって $m=1,5$ であり、$$r=1,\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\text{ または }{\displaystyle \frac{5\pi }{3}}$$ である。

(2)
(1)より $A$ は ${60}^{\circ }$ または $-{60}^{\circ }$ の回転である。向きが逆でも得られる6本の直線の集合は同じなので、${60}^{\circ }$ ずつ回転する場合で考える。

座標軸を回転して、最初の直線を $x=h$ と書いてよい。ただし $l$ は原点を通らないので $h\mathrm{\ne }0$ である。すると6本の直線は、原点からの距離が $\mathrm{\mid }h\mathrm{\mid }$ で、法線方向が ${60}^{\circ }$ ずつ異なる直線である。これは、原点を中心とする正六角形の6辺を含む直線と同じ配置になる。

6本の直線のうち、${180}^{\circ }$ だけ向きが違うものは互いに平行である。したがって平行な組は $3$ 組ある。また $h\mathrm{\ne }0$ なので、${180}^{\circ }$ 回転した直線は元の直線と一致せず、平行な別の直線である。

6本から2本を選ぶ組は $${\displaystyle \frac{6\cdot 5}{2}}=15$$ 組である。このうち3組は平行で交わらない。残りの12組は交わる。正六角形の辺を含む直線の配置では、平行でない2本の交点にさらに別の1本が通ることはないので、これらの交点はすべて別々である。

よって交点の個数は $15-3=12$ である。

15組から平行な3組を除き、12個の交点が得られる

平面上の点を複素数 $z$ で表し、与えられた一次変換を
$z\mapsto r{e}^{i\theta }z$ と読む。変換の位数が6である条件を
複素数の積で決める。直線群は法線方向が60度ずつ変わる6本として、
平行組と重複しない交点を数える。

(1)
与えられた変換は複素数表示では$$z⟼r{e}^{i\theta }z$$である。6回で恒等変換になる条件は$$(r{e}^{i\theta }{)}^6=1.$$よって $r=1$、$6\theta$ は $2\pi$ の整数倍である。
さらに6未満では1にならないので、$e^{i\theta }$ の位数は6である。
$0\leqq \theta <2\pi$ から$$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}},{\displaystyle \frac{5\pi }{3}}$$を得る。

(2)
回転方向を逆にしても6本の集合は変わらない。座標を回して最初の
直線を $x=h(h\mathrm{\ne }0)$ とすれば、各直線の法線方向は$$0,{\displaystyle \frac{\pi }{3}},{\displaystyle \frac{2\pi }{3}},\pi ,{\displaystyle \frac{4\pi }{3}},{\displaystyle \frac{5\pi }{3}}$$である。反対向きの法線をもつ直線同士が平行になるので平行組は3組。
全ての2直線の組は15組だから、交わる組は$$15-3=12$$組である。これらは正六角形の6辺を延長した配置であり、3本が
1点に集まることはない。したがって交点は12個である。