大阪大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

$P_0=P=(-300,-600)$、$P_n=(x_n,y_n)$ とおく。重心の公式より$$P_{n+1}={\displaystyle \frac{A+B+P_n}{3}}$$であるから$$x_{n+1}=1+{\displaystyle \frac{x_n}{3}},y_{n+1}=1+{\displaystyle \frac{y_n}{3}}\mathrm{.}$$固定値はともに $3\mathrm{/}2$ なので$$x_{n+1}-{\displaystyle \frac{3}{2}}={\displaystyle \frac{1}{3}}(x_n-{\displaystyle \frac{3}{2}}),y_{n+1}-{\displaystyle \frac{3}{2}}={\displaystyle \frac{1}{3}}(y_n-{\displaystyle \frac{3}{2}})\mathrm{.}$$初期値を入れると$$x_n={\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{603}{2\cdot 3^n}},y_n={\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{1203}{2\cdot 3^n}}\mathrm{.}$$第4象限にある条件は $x_n>0$ かつ $y_n<0$ である。これは$$3^n>201,3^n<401$$と同値である。ここで$$3^4=81,3^5=243,3^6=729$$だから、両方を満たすのは$$n=5$$だけである。

点列は固定点 $G$ へ一直線上を近づく（縮尺は模式的）

$A,B$ の中点 $G$ が重心操作の固定点であることを示し、$P_{n+1}-G=(P_n-G)\mathrm{/}3$ という相似関係を繰り返す。

$A,B$ の中点を$$G=({\displaystyle \frac{3}{2}},{\displaystyle \frac{3}{2}})$$とする。$A+B=2G$ だから$$P_{n+1}-G={\displaystyle \frac{A+B+P_n}{3}}-G={\displaystyle \frac{1}{3}}(P_n-G)\mathrm{.}$$すなわち、各段階で $G$ を中心に相似比 $1\mathrm{/}3$ で縮小される。よって$$P_n-G={\displaystyle \frac{1}{3^n}}(P_0-G)\mathrm{.}$$ここで$$P_0-G=(-{\displaystyle \frac{603}{2}},-{\displaystyle \frac{1203}{2}})$$なので$$P_n=({\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{603}{2\cdot 3^n}},{\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{1203}{2\cdot 3^n}})\mathrm{.}$$したがって第4象限の条件は$$201<3^n<401.$$$3^5=243$ だけがこの範囲に入るから$$n=5\mathrm{.}$$