大阪大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

原点を通る直線 $l$ の方向ベクトルを $(1,t)$ とする。垂直な直線は方向ベクトル $(0,1)$ をもつが、このとき移った方向ベクトルは $(a-2,1)$ であり、内積は $1$ なので直交しない。したがって $(1,t)$ と置けば十分である。

この方向ベクトルは、一次変換 $f$ によって $(1,t)\mapsto (a+(a-2)t,1+t)$ へ移る。直線 $l$ と移った直線が直交する条件は $$(1,t)\cdot (a+(a-2)t,1+t)=0$$ である。すなわち $a+(a-2)t+t+t^2=0$ だから $t^2+(a-1)t+a=0$ である。

(1)
性質 $P$ をもつ直線が存在するためには、この2次方程式が実数解をもてばよい。判別式は $$\mathrm{\Delta }=(a-1{)}^2-4a=a^2-6a+1$$ である。したがって $a^2-6a+1\geqq 0$ が必要十分条件である。これを解くと $$a\leqq 3-2\sqrt{2}\text{または}3+2\sqrt{2}\leqq a$$ である。

(2)
性質 $P$ をもつ直線が2本あるとき、上の2次方程式は異なる2つの実数解 $t_1,t_2$ をもつ。この2本の直線の傾きが $t_1,t_2$ である。解と係数の関係より $$t_1+t_2=1-a,t_1{t}_2=a$$ である。また $$(t_2-t_1{)}^2=(t_1+t_2{)}^2-4t_1{t}_2=a^2-6a+1$$ である。

2直線のなす角を $\varphi$ とすると $${\tan }^2\varphi =\frac{(t_2-t_1{)}^2}{(1+t_1{t}_2{)}^2}$$ である。ここで $\varphi =\pi \mathrm{/}3$ なので ${\tan }^2\varphi =3$ であり、$$\frac{a^2-6a+1}{(1+a{)}^2}=3$$ を得る。なお $a=-1$ のときは2直線が直交し、なす角は $\pi \mathrm{/}2$ なので、今回の条件には当たらない。

上の式を整理すると $a^2-6a+1=3(a+1{)}^2$ すなわち $a^2+6a+1=0$ である。したがって $a=-3\pm 2\sqrt{2}$ である。これらの値では判別式 $a^2-6a+1$ は正であり、性質 $P$ をもつ直線は確かに2本存在する。

よって求める値は $$a=-3+2\sqrt{2},a=-3-2\sqrt{2}$$ である。