大阪大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $\log x$ は $x>0$ で増加関数である。$k=2,3,\dots ,n$ に対して、区間 $[k-1,k]$ 上では $\log x\leqq \log k$ であり、端点以外では厳密に小さい。したがって $${\int }_{k-1}^k\log xdx<\log k$$ である。これを $k=2$ から $n$ まで足すと、$\log 1=0$ より $${\int }_1^n\log xdx<\sum _{k=1}^n\log k$$ を得る。左辺は $${\int }_1^n\log xdx={[x\log x-x]}_1^n=n\log n-n+1$$ であるから $$n\log n-n+1<\sum _{k=1}^n\log k$$ である。

次に $k=1,2,\dots ,n-1$ に対して、区間 $[k,k+1]$ 上では $\log k\leqq \log x$ であり、$k=1$ の場合も含めて積分すれば $$\log k<{\int }_k^{k+1}\log xdx$$ が成り立つ。ただし $k=1$ では左辺は $0$ であり、右辺は正である。よって $$\sum _{k=1}^{n-1}\log k<{\int }_1^n\log xdx$$ である。両辺に $\log n$ を加えると $$\sum _{k=1}^n\log k<{\int }_1^n\log xdx+\log n$$ となる。したがって $$\sum _{k=1}^n\log k<(n+1)\log n-n+1$$ である。以上より $${\displaystyle n\log n-n+1<\sum _{k=1}^n\log k<(n+1)\log n-n+1}$$ が示された。

(2) $$\sum _{k=1}^n\log k=\log (n!)$$ である。(1) の不等式を、正の量 $n\log n$ で割ると$$1-{\displaystyle \frac{1}{\log n}}+{\displaystyle \frac{1}{n\log n}}<{\displaystyle \frac{\log (n!)}{n\log n}}<1+{\displaystyle \frac{1}{n}}-{\displaystyle \frac{1}{\log n}}+{\displaystyle \frac{1}{n\log n}}$$である。$n\to \mathrm{\infty }$ のとき両端はともに $1$ に近づくので、はさみうちにより $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{\log (n!)}{n\log n}}=1$$ である。

求める極限を $L_n$ とおくと$$\log L_n=\log ((n!{)}^{1\mathrm{/}(n\log n)})={\displaystyle \frac{\log (n!)}{n\log n}}$$である。よって $\log L_n\to 1$ であり、したがって $${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(n!{)}^{1\mathrm{/}(n\log n)}=e}$$ である。

(1) は $\log x$ のグラフと単位幅の長方形を比較する。
(2)は別に、任意の $0<\epsilon <1$ に対し
$n!$ の末尾 $(1-\epsilon )n$ 個を $\epsilon n$ で下から抑え、
$n!\leqq n^n$ と合わせて極限を出す。

(1)

$\log x$ は増加関数なので$${\int }_{k-1}^k\log xdx<\log k(k=2,\dots ,n)\mathrm{.}$$和を取ると$${\int }_1^n\log xdx<\sum _{k=1}^n\log k\mathrm{.}$$また$$\log k<{\int }_k^{k+1}\log xdx(k=1,\dots ,n-1)$$を足して最後に $\log n$ を加えると$$\sum _{k=1}^n\log k<{\int }_1^n\log xdx+\log n\mathrm{.}$$$${\int }_1^n\log xdx=n\log n-n+1$$を代入すれば問題の2不等式を得る。

(2)

まず $n!\leqq n^n$ だから$${\displaystyle \frac{\log (n!)}{n\log n}}\leqq 1.$$$0<\epsilon <1$ を固定する。
$\epsilon n$ 以上の整数因子は少なくとも
$n-\lceil \epsilon n\rceil$ 個あり、それぞれ $\epsilon n$ 以上だから$$n!\geqq (\epsilon n{)}^{n-\lceil \epsilon n\rceil }\mathrm{.}$$よって$${\displaystyle \frac{\log (n!)}{n\log n}}\geqq {\displaystyle \frac{n-\lceil \epsilon n\rceil }{n}}(1+{\displaystyle \frac{\log \epsilon }{\log n}})\mathrm{.}$$$n\to \mathrm{\infty }$ で右辺の極限は $1-\epsilon$ である。
$\epsilon$ は任意なので$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{\log (n!)}{n\log n}}=1.$$指数関数の連続性から$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(n!{)}^{1\mathrm{/}(n\log n)}=e\mathrm{.}$$