大阪大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
加法定理より $$x=\sin (t+\alpha )=\sin t\cos \alpha +\cos t\sin \alpha$$ であり，$$y=\sin (t+\beta )=\sin t\cos \beta +\cos t\sin \beta$$ である。また $z=\sin t$ である。ここで$x\sin \beta -y\sin \alpha$を計算すると，$\cos t$の項は $\cos t\sin \alpha \sin \beta -\cos t\sin \beta \sin \alpha$ となって消える。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle x\sin \beta -y\sin \alpha }& {\displaystyle =\sin t(\cos \alpha \sin \beta -\cos \beta \sin \alpha )}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sin t\sin (\beta -\alpha )}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =z\sin (\beta -\alpha )}\end{array}$$である。

よって曲線上のすべての点は $$x\sin \beta -y\sin \alpha -z\sin (\beta -\alpha )=0$$ を満たす。この式は原点も満たすから，求める平面は $${\displaystyle x\sin \beta -y\sin \alpha -z\sin (\beta -\alpha )=0}$$ である。

(2) $\alpha =\theta$，$\beta =2\theta$を(1)の平面に代入する。$0<\theta <\pi \mathrm{/}2$より$\sin \theta >0$であり，$$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta ,\sin (2\theta -\theta )=\sin \theta$$だから，平面の方程式は $2x\cos \theta -y-z=0$ となる。

点$(-1,2,0)$とこの平面との距離を$d$とすると $$d={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }2(-1)\cos \theta -2-0\mathrm{\mid }}{\sqrt{(2\cos \theta {)}^2+(-1{)}^2+(-1{)}^2}}}$$ である。したがって $$d={\displaystyle \frac{2(1+\cos \theta )}{\sqrt{4{\cos }^2\theta +2}}}$$ となる。 $u=\cos \theta$ とおくと，$0<\theta <\pi \mathrm{/}2$より$0<u<1$である。距離の2乗は $$d^2={\displaystyle \frac{4(1+u{)}^2}{4u^2+2}}$$ である。これを$f(u)$とおく。分母は正なので，微分して $$f^{\mathrm{\prime }}(u)={\displaystyle \frac{8(1+u)(4u^2+2)-4(1+u{)}^2\cdot 8u}{(4u^2+2{)}^2}}$$ である。分子を整理すると $$8(1+u)\{4u^2+2-4u(1+u)\}=8(1+u)(2-4u)$$ となる。$0<u<1$では$1+u>0$だから，$f(u)$は$u=1\mathrm{/}2$で最大になる。

このとき $$d^2={\displaystyle \frac{4(1+1\mathrm{/}2{)}^2}{4(1\mathrm{/}2{)}^2+2}}=3$$ である。よって距離の最大値は ${\displaystyle \sqrt{3}}$ である。

曲線を $\vec{r}(t)=\vec{u}\sin t+\vec{v}\cos t$ とベクトル表示し、$\vec{u},\vec{v}$ に直交する法線ベクトルを外積に相当する成分計算で求める。後半は距離公式を用い、平方完成型の不等式で最大値と等号条件を同時に確定する。

(1)
位置ベクトルを加法定理でまとめると$$\vec{r}(t)=\left(\begin{array}{c}\cos \alpha \\ \cos \beta \\ 1\end{array}\right)\sin t+\left(\begin{array}{c}\sin \alpha \\ \sin \beta \\ 0\end{array}\right)\cos t$$となる。二つの係数ベクトルの両方に直交するベクトルとして$$\vec{n}=(\sin \beta ,-\sin \alpha ,-\sin (\beta -\alpha ))$$をとれる。実際、各内積は加法定理により $0$ である。よって$$\vec{n}\cdot \vec{r}(t)=0$$であり、曲線は原点を通る平面$$x\sin \beta -y\sin \alpha -z\sin (\beta -\alpha )=0$$に含まれる。

(2)
$\alpha =\theta$、$\beta =2\theta$ を代入し、$\sin \theta >0$ で割ると平面は$$2x\cos \theta -y-z=0.$$$u=\cos \theta$ とおけば $0<u<1$ であり、点 $(-1,2,0)$ からの距離 $d$ は$$d^2={\displaystyle \frac{4(1+u{)}^2}{4u^2+2}}\mathrm{.}$$ここで$$3(4u^2+2)-4(1+u{)}^2=2(2u-1{)}^2\geqq 0$$だから $d^2\leqq 3$ である。等号は $u=1\mathrm{/}2$、すなわち $\theta =\pi \mathrm{/}3$ で成立する。したがって最大値は$$\sqrt{3}$$である。