大阪大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

単位円上の偏角 $\alpha$、$\beta$ の2点間の距離の2乗は $(\cos \alpha -\cos \beta {)}^2+(\sin \alpha -\sin \beta {)}^2$ である。展開すると$${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\sin }^2\beta -2(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta )$$ $=2-2\cos (\alpha -\beta )$ となる。

したがって、$P$ と $Q$ の偏角差は $\theta$、$Q$ と $R$ の偏角差は $2\theta$ なので $$P{Q}^2=2-2\cos \theta ,Q{R}^2=2-2\cos 2\theta$$ である。よって $$P{Q}^2+Q{R}^2=4-2\cos \theta -2\cos 2\theta$$ である。

ここで $u=\cos \theta$ とおくと、$\theta$ が $0^{\circ }$ から ${360}^{\circ }$ まで動く間に $u$ は $[-1,1]$ のすべての値をとる。また $\cos 2\theta =2u^2-1$ であるから $$P{Q}^2+Q{R}^2=4-2u-2(2u^2-1)=6-2u-4u^2$$ となる。 $$6-2u-4u^2=-4{(u+{\displaystyle \frac{1}{4}})}^2+{\displaystyle \frac{25}{4}}$$ である。したがって最大値は $u=-1\mathrm{/}4$ のとき ${\displaystyle \frac{25}{4}}$ である。一方、この二次関数は上に凸なので、最小値は区間 $[-1,1]$ の端点で調べればよい。$u=1$ のとき $6-2-4=0$ であり、$u=-1$ のとき $6+2-4=4$ である。よって最小値は $0$ である。

以上より、求める値の範囲は $$0\leqq P{Q}^2+Q{R}^2\leqq {\displaystyle \frac{25}{4}}$$ である。

弦長を半角の正弦で表し、$P{Q}^2+Q{R}^2=4{\sin }^2(\theta \mathrm{/}2)+4{\sin }^2\theta$ とする。$u=\cos \theta$ へ直して二次関数の値域を求め、等号を与える角が存在することも確認する。

単位円の弦長公式より$$PQ=2\mid \sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}\mid ,QR=2\mathrm{\mid }\sin \theta \mathrm{\mid }\mathrm{.}$$従って$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P{Q}^2+Q{R}^2}& {\displaystyle =4{\sin }^2{\displaystyle \frac{\theta }{2}}+4{\sin }^2\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2(1-\cos \theta )+4(1-{\cos }^2\theta )\mathrm{.}}\end{array}$$$u=\cos \theta$ とおくと、$\theta$ が $0^{\circ }$ から ${360}^{\circ }$ まで動く間に$$-1\leqq u\leqq 1$$のすべての値を取る。従って$$P{Q}^2+Q{R}^2=6-2u-4u^2={\displaystyle \frac{25}{4}}-4{(u+{\displaystyle \frac{1}{4}})}^2\mathrm{.}$$最大値は $u=-1\mathrm{/}4$ のときの $25\mathrm{/}4$ であり、この値を取る角 $\theta$ は実際に存在する。

最小値は端点で比較し、$$u=1\text{ のとき }0,u=-1\text{ のとき }4$$だから0である。従って求める範囲は$$0\leqq P{Q}^2+Q{R}^2\leqq {\displaystyle \frac{25}{4}}\mathrm{.}$$