大阪大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

曲線$y=e^x$上の接点を $(t,e^t)$ とおく。この点における接線の傾きは$e^t$であるから、法線の傾きは $-e^{-t}$ である。したがって法線の方程式は $y-e^t=-e^{-t}(x-t)$ である。

この法線が点$P(a,3)$を通る条件は $3-e^t=-e^{-t}(a-t)$ である。両辺に$e^t$を掛けると $3e^t-e^{2t}=-(a-t)$ であり、整理して $a=t-3e^t+e^{2t}$ を得る。

そこで $F(t)=t-3e^t+e^{2t}$ とおく。求める$n(a)$は、方程式 $F(t)=a$ の実数解の個数である。

微分すると $$F^{\mathrm{\prime }}(t)=1-3e^t+2e^{2t}=(e^t-1)(2e^t-1)$$ である。したがって臨界点は $$e^t={\displaystyle \frac{1}{2}},e^t=1$$ すなわち $t=-\log 2,t=0$ である。$F^{\mathrm{\prime }}(t)$の符号は、$t<-\log 2$で正、$-\log 2<t<0$で負、$0<t$で正である。よって$F$は$t=-\log 2$で極大、$t=0$で極小をとる。

その値は $$F(-\log 2)=-\log 2-{\displaystyle \frac{3}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}=-\log 2-{\displaystyle \frac{5}{4}}$$ であり $F(0)=0-3+1=-2$ である。また $$\underset{t\to -\mathrm{\infty }}{\lim }F(t)=-\mathrm{\infty },\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }F(t)=\mathrm{\infty }$$ である。さらに $-\log 2-{\displaystyle \frac{5}{4}}>-2$ である。

以上の増減から、水平線$y=a$との交点数は次のように決まる。$$n(a)=\{\begin{array}{ll}1& (a<-2),\\ 2& (a=-2),\\ 3& (-2<a<-\log 2-{\displaystyle \frac{5}{4}}),\\ 2& (a=-\log 2-{\displaystyle \frac{5}{4}}),\\ 1& (-\log 2-{\displaystyle \frac{5}{4}}<a)\mathrm{.}\end{array}$$これが求める個数である。

接点とPとの距離の2乗を $G(t)$ と置き、法線条件を $G^{\mathrm{\prime }}(t)=0$ として導く。得られる $a=F(t)$ のグラフを、2つの臨界点と無限遠での極限から描き、水平線との交点数を数える。

接点を $(t,e^t)$ とする。Pまでの距離の2乗は$$G(t)=(t-a{)}^2+(e^t-3{)}^2\mathrm{.}$$曲線の接線とPへの線分が直交する条件は$$G^{\mathrm{\prime }}(t)=0$$である。従って$$2(t-a)+2e^t(e^t-3)=0,$$すなわち$$a=F(t):=t-3e^t+e^{2t}\mathrm{.}$$$$F^{\mathrm{\prime }}(t)=(e^t-1)(2e^t-1)$$だから、$F$ は$$t=-\log 2$$で極大、$$t=0$$で極小となる。その値は$$F(-\log 2)=-\log 2-{\displaystyle \frac{5}{4}},F(0)=-2.$$また$$\underset{t\to -\mathrm{\infty }}{\lim }F(t)=-\mathrm{\infty },\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }F(t)=\mathrm{\infty },$$かつ$$-2<-\log 2-{\displaystyle \frac{5}{4}}\mathrm{.}$$従って水平線 $y=a$ との交点数は$$n(a)=\{\begin{array}{ll}1& (a<-2),\\ 2& (a=-2),\\ 3& (-2<a<-\log 2-{\displaystyle \frac{5}{4}}),\\ 2& (a=-\log 2-{\displaystyle \frac{5}{4}}),\\ 1& (a>-\log 2-{\displaystyle \frac{5}{4}})\mathrm{.}\end{array}$$