大阪大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)
条件$x+x+y=a$より $y=a-2x$ である。直方体の辺の長さは正なので $$0<x<{\displaystyle \frac{a}{2}}$$ である。体積は $$V=x^{2}y=x^2(a-2x)=a{x}^2-2x^3$$ である。微分すると $V^{\mathrm{\prime }}=2ax-6x^2=2x(a-3x)$ である。 $0<x<a\mathrm{/}3$では$V^{\mathrm{\prime }}>0$、$a\mathrm{/}3<x<a\mathrm{/}2$では$V^{\mathrm{\prime }}<0$であるから、$V$は$x=a\mathrm{/}3$で最大となる。このとき $$y=a-2\cdot {\displaystyle \frac{a}{3}}={\displaystyle \frac{a}{3}}$$ である。したがって $$x={\displaystyle \frac{a}{3}},y={\displaystyle \frac{a}{3}}$$ である。

(2)
$a=1$のとき $$y=1-2x,0<x<{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。表面積は、上下の正方形2面と側面4面を合わせて $S=2x^2+4xy$ である。したがって $S=2x^2+4x(1-2x)=4x-6x^2$ であり、体積は $V=x^2(1-2x)$ である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V-{\displaystyle \frac{1}{2}}S}& {\displaystyle =x^2(1-2x)-{\displaystyle \frac{1}{2}}(4x-6x^2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-2x^3+4x^2-2x}\end{array}$$である。

これを$F(x)$とおくと $$F^{\mathrm{\prime }}(x)=-6x^2+8x-2=-2(3x-1)(x-1)$$ である。$0<x<1\mathrm{/}2$では、$0<x<1\mathrm{/}3$のとき$F^{\mathrm{\prime }}(x)<0$、$1\mathrm{/}3<x<1\mathrm{/}2$のとき$F^{\mathrm{\prime }}(x)>0$である。したがって$F(x)$は $x={\displaystyle \frac{1}{3}}$ で最小となる。このとき $$y=1-2\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$$ である。求める値は $$x={\displaystyle \frac{1}{3}},y={\displaystyle \frac{1}{3}}$$ である。

微分を使わず、(1)は相加相乗平均、(2)は目的式と候補値との差の因数分解で処理する。制約から $0<x<1\mathrm{/}2$ を保ったまま等号条件を確認し、最大・最小の両方を代数的に確定する。

(1) $$x+x+y=a,x>0,y>0$$である。相加相乗平均より$$\sqrt[3]{x^{2}y}\leqq {\displaystyle \frac{x+x+y}{3}}={\displaystyle \frac{a}{3}}\mathrm{.}$$従って$$V=x^{2}y\leqq {\left({\displaystyle \frac{a}{3}}\right)}^3\mathrm{.}$$等号は$$x=x=y$$のときに限るから$$x=y={\displaystyle \frac{a}{3}}\mathrm{.}$$(2)
$a=1$ のとき$$y=1-2x,0<x<{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$$$S=2x^2+4xy,V=x^{2}y$$より$$F(x)=V-{\displaystyle \frac{1}{2}}S=-2x^3+4x^2-2x\mathrm{.}$$候補値との差を取ると$$F(x)+{\displaystyle \frac{8}{27}}=-{\displaystyle \frac{2}{27}}(3x-4)(3x-1{)}^2\mathrm{.}$$$0<x<1\mathrm{/}2$ では $3x-4<0$ だから$$F(x)+{\displaystyle \frac{8}{27}}\geqq 0.$$等号は $3x-1=0$ のときに限る。従って最小となるのは$$x={\displaystyle \frac{1}{3}},y=1-2x={\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{.}$$