大阪大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $f(x)=x(x-a)(x-b)(x-c)$ とおく。$0<a<b<c$ であるから、$0<x<a$ では $f(x)<0$、$a<x<b$ では $f(x)>0$ である。したがって $$S=-{\int }_0^{a}f(x)dx,T={\int }_a^{b}f(x)dx$$ である。よって $S=T$ は ${\int }_0^{b}f(x)dx=0$ と同値である。

ここで $$f(x)=x^4-(a+b+c)x^3+(ab+ac+bc)x^2-abcx$$ であるから$${\int }_0^{b}f(x)dx={\displaystyle \frac{b^5}{5}}-{\displaystyle \frac{(a+b+c)b^4}{4}}+{\displaystyle \frac{(ab+ac+bc)b^3}{3}}-{\displaystyle \frac{abc{b}^2}{2}}$$である。これを整理すると $${\int }_0^{b}f(x)dx={\displaystyle \frac{b^3}{60}}\{-3b^2+5(a+c)b-10ac\}$$ となる。$b>0$ なので、$S=T$ は $-3b^2+5(a+c)b-10ac=0$ すなわち $${\displaystyle 3b^2-5(a+c)b+10ac=0}$$ と同値である。

(2) $y=f(x)$ を $y$ 軸に関して対称移動すると $y=f(-x)$ である。さらに $x$ 軸の正の方向に $c$ だけ平行移動すると、式は $y=f(c-x)$ となる。したがって $${\displaystyle y=(c-x)(c-x-a)(c-x-b)(-x)}$$ である。

(3)
(1) より、$S=T$ の条件は $$3b^2-5(a+c)b+10ac=0\text{(1)}$$ である。

次に $T=U$ の条件を作る。(2) の移動後の曲線は、$x$ 軸との交点が左から $0,c-b,c-a,c$ である。この曲線で左の二つの囲まれた面積が等しいことは、元の曲線で $U=T$ であることに対応する。よって (1) と同じ形の条件を、$a,b,c$ の代わりに $c-b,c-a,c$ に用いると $$3(c-a{)}^2-5\{(c-b)+c\}(c-a)+10(c-b)c=0$$ である。整理して $$3a^2-5ab+4ac-5bc+3c^2=0\text{(2)}$$ を得る。 $b=ua$、$c=va$ とおく。$a>0$ であり、$0<a<b<c$ より $1<u<v$ である。(1), (2) を $a^2$ で割ると $$3u^2-5(1+v)u+10v=0\text{(3)}$$ $$3-5u+4v-5uv+3v^2=0\text{(4)}$$ となる。

(3) から $u=2$ は解でないことが分かるので、$$v={\displaystyle \frac{u(5-3u)}{5(2-u)}}$$ である。これを (4) に代入して分母を払うと $(u^2-5)(4u^2-10u+5)=0$ を得る。したがって$$u=\sqrt{5},u=-\sqrt{5},u={\displaystyle \frac{5+\sqrt{5}}{4}},u={\displaystyle \frac{5-\sqrt{5}}{4}}$$が候補である。

このうち $1<u<v$ を満たすものを調べる。$u=-\sqrt{5}$ と $u=(5-\sqrt{5})\mathrm{/}4$ は $u>1$ を満たさない。また $u=(5+\sqrt{5})\mathrm{/}4$ を上の式に入れると $v<0$ となり不適である。残る $u=\sqrt{5}$ では $v=1+\sqrt{5}$ となり、確かに $1<u<v$ を満たす。よって $${\displaystyle b=\sqrt{5}a,c=(1+\sqrt{5})a}$$ である。

三つの面積を符号つき積分で直接つなぐ。
$S=T$ は ${\int }_0^{b}f(x)dx=0$、
$T=U$ は ${\int }_a^{c}f(x)dx=0$ と表す。
2本の二次式を $b\mathrm{/}a,c\mathrm{/}a$ で無次元化し、因数分解して順序条件で候補を選ぶ。

$f(x)=x(x-a)(x-b)(x-c)$ とおく。

(1)

$f$ の符号は $(0,a)$ で負、$(a,b)$ で正だから$$S=T⟺{\int }_0^{b}f(x)dx=0.$$展開して積分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{b}f(x)dx}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{b^3}{60}}\{-3b^2+5(a+c)b-10ac\}\mathrm{.}}\end{array}$$$b>0$ だから必要十分条件は$$3b^2-5(a+c)b+10ac=0.$$(2)

$y$ 軸対称で $x$ を $-x$ に替え、その後右へ $c$ 移動するので$$y=f(c-x)=(c-x)(c-x-a)(c-x-b)(-x)\mathrm{.}$$(3)

同様に $T=U$ は$${\int }_a^{c}f(x)dx=0$$と同値である。直接積分して整理すると$$3a^2-5ab+4ac-5bc+3c^2=0.$$$$u={\displaystyle \frac{b}{a}},v={\displaystyle \frac{c}{a}}$$とおけば $1<u<v$ であり、2条件は$$3u^2-5(1+v)u+10v=0,$$$$3-5u+4v-5uv+3v^2=0.$$第1式から$$v={\displaystyle \frac{u(5-3u)}{5(2-u)}}$$を得て第2式へ代入すると$$(u^2-5)(4u^2-10u+5)=0.$$$1<u<v$ を満たすのは$$u=\sqrt{5},v=1+\sqrt{5}$$だけである。よって$$b=\sqrt{5}a,c=(1+\sqrt{5})a\mathrm{.}$$