大阪大学 2000年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1) $C_1$ の $x=u$ における接線は$$y={\displaystyle \frac{x}{u}}+\log u-1.$$一方、$C_2$ で $x-a=v$ となる点における接線は$$y={\displaystyle \frac{x}{v}}+\log v+a-{\displaystyle \frac{a}{v}}-1.$$これらが同じ直線なので、傾きの比較から $u=v$、切片の比較から$$a-{\displaystyle \frac{a}{u}}=0$$を得る。$a>0$ より $u=v=1$ である。従って共通接線は$$l:y=x-1.$$(2) 二曲線の交点の $x$ 座標を $b$ とすると$$\log b=\log (b-a)+a,$$従って$$b={\displaystyle \frac{a{e}^a}{e^a-1}},b-a={\displaystyle \frac{a}{e^a-1}}\mathrm{.}$$対数関数は接線より下にあるので、囲まれる面積は$$S(a)={\int }_1^b(x-1-\log x)dx+{\int }_b^{a+1}\{x-1-\log (x-a)-a\}dx\mathrm{.}$$ここで$$t=b-a={\displaystyle \frac{a}{e^a-1}},b=e^{a}t$$とおいて積分を整理すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(a)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a^2}{2}}+at-b\log b+t\log t}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{a^2}{2}}-a\log t}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a\log {\displaystyle \frac{e^a-1}{a}}-{\displaystyle \frac{a^2}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$従って$$S(a)=a\log {\displaystyle \frac{e^a-1}{a}}-{\displaystyle \frac{a^2}{2}}\mathrm{.}$$(3)$${\displaystyle \frac{S(a)}{a^2}}={\displaystyle \frac{\log (e^a-1)}{a}}-{\displaystyle \frac{\log a}{a}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$また$${\displaystyle \frac{\log (e^a-1)}{a}}=1+{\displaystyle \frac{\log (1-e^{-a})}{a}}⟶1,$$問題文で使用を許された極限より $(\log a)\mathrm{/}a\to 0$ である。従って$$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{S(a)}{a^2}}=1-0-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$

共通接線の傾きを $m$ とし、2曲線の接点を導関数から
$1\mathrm{/}m$、$a+1\mathrm{/}m$ と直接表す。面積は逆関数を使って横向きに積分し、
2曲線の交点で分ける。縦積分とは異なる形で式を整理する。

(1)
共通接線の傾きを $m>0$ とする。$C_1$ の接点は $x=1\mathrm{/}m$ であり、
接線は$$y=mx-1-\log m\mathrm{.}$$$C_2$ の接点は $x=a+1\mathrm{/}m$ であり、接線は$$y=mx-ma-1-\log m+a\mathrm{.}$$両者が同じ直線なので $a(1-m)=0$ である。$a>0$ より $m=1$、
従って$$l:y=x-1.$$(2)
$C_1,C_2$ を $x$ について解くと$$C_1:x=e^y,C_2:x=a+e^{y-a},$$また直線は $x=y+1$ である。2曲線の交点の $y$ 座標を $h$ とすると$$e^h=a+e^{h-a},e^h(1-e^{-a})=a\mathrm{.}$$従って$$h=\log {\displaystyle \frac{a{e}^a}{e^a-1}}\mathrm{.}$$横向きに積分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(a)}& {\displaystyle ={\int }_0^h\{e^y-(y+1)\}dy}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\int }_h^a\{a+e^{y-a}-(y+1)\}dy}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a^2}{2}}-ah\mathrm{.}}\end{array}$$$h$ を代入して$$S(a)=a\log {\displaystyle \frac{e^a-1}{a}}-{\displaystyle \frac{a^2}{2}}\mathrm{.}$$(3)$${\displaystyle \frac{S(a)}{a^2}}={\displaystyle \frac{\log (e^a-1)}{a}}-{\displaystyle \frac{\log a}{a}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$$${\displaystyle \frac{\log (e^a-1)}{a}}=1+{\displaystyle \frac{\log (1-e^{-a})}{a}}⟶1$$であり、与えられた極限から $(\log a)\mathrm{/}a\to 0$ だから$$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{S(a)}{a^2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$