大阪大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

接点の $x$ 座標を $t$ とする。曲線 $y=f(x)$ の $x=t$ における接線は $y=f^{\mathrm{\prime }}(t)(x-t)+f(t)$ である。この直線が点 $(0,a)$ を通るための条件は $a=f(t)-t{f}^{\mathrm{\prime }}(t)$ である。

ここで $f(x)=x^4+x^3-3x^2$ だから $f^{\mathrm{\prime }}(x)=4x^3+3x^2-6x$ である。したがって $$f(t)-t{f}^{\mathrm{\prime }}(t)=t^4+t^3-3t^2-t(4t^3+3t^2-6t)$$ $=-3t^4-2t^3+3t^2$ である。これを $A(t)=-3t^4-2t^3+3t^2$ とおく。 $A(t)$ の増減を調べる。 $$A^{\mathrm{\prime }}(t)=-12t^3-6t^2+6t=-6t(t+1)(2t-1)$$ である。臨界点は $$t=-1,0,{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ であり、値は $$A(-1)=2,A(0)=0,A\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)={\displaystyle \frac{5}{16}}$$ である。また $t\to \pm \mathrm{\infty }$ のとき $A(t)\to -\mathrm{\infty }$ である。

増減は、$(-\mathrm{\infty },-1)$ で増加、$(-1,0)$ で減少、$(0,1\mathrm{/}2)$ で増加、$(1\mathrm{/}2,\mathrm{\infty })$ で減少である。したがって水平線 $y=a$ がグラフ $y=A(t)$ とただ1点で交わるのは、最大値 $2$ をとる $a=2$ の場合だけである。このとき接点は $t=-1$ である。

最後に、対応する接線が曲線にただ1点で接することを確認する。$t=-1$ では $$f(-1)=-3,f^{\mathrm{\prime }}(-1)=5$$ だから接線は $y=5(x+1)-3=5x+2$ である。曲線との交点は $f(x)-(5x+2)=0$ で調べられ、左辺は $$x^4+x^3-3x^2-5x-2=(x+1{)}^3(x-2)$$ と因数分解できる。$x=-1$ では重なって接しており、$x=2$ では単に交わるだけで接していない。したがってこの接線が曲線に接する点は $x=-1$ のただ1点である。

以上より、求める値は $a=2$ である。

接点 $t$ における接線の $y$ 切片を $A(t)$ とする。$2-A(t)$ を因数分解すると、切片の最大値2と等号点の一意性が微分なしで分かる。$a<2$ では中間値の定理により $-1$ の左右に接点があることを示す。

接点の $x$ 座標を $t$ とすると、接線の $y$ 切片は$$A(t)=f(t)-t{f}^{\mathrm{\prime }}(t)=-3t^4-2t^3+3t^2\mathrm{.}$$ここで$$2-A(t)=(t+1{)}^2(3t^2-4t+2)\mathrm{.}$$二次式の判別式は$$(-4{)}^2-4\cdot 3\cdot 2=-8<0$$で、最高次係数は正だから$$3t^2-4t+2>0$$である。従って$$A(t)\leqq 2$$であり、等号は $t=-1$ のときに限る。

$a>2$ なら接線は1本もない。$a<2$ なら $A(-1)=2>a$ である一方、$$\underset{t\to -\mathrm{\infty }}{\lim }A(t)=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }A(t)=-\mathrm{\infty }$$だから、方程式 $A(t)=a$ は $-1$ の左と右に少なくとも1つずつ実数解をもつ。従って接線は少なくとも2本ある。

よって接線がただ1本となりうるのは$$a=2$$のときだけであり、このとき接点は $t=-1$ に限る。対応する接線は$$y=5x+2.$$曲線との差は$$f(x)-(5x+2)=(x+1{)}^3(x-2)$$である。重なって接する点は $x=-1$ だけで、$x=2$ では単に交わる。従って問題の2条件をともに満たす値は$$a=2.$$