大阪大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

三角形 $T_k$ は、底辺が $x$ 軸上の $${\displaystyle \frac{k-1}{500}}<x<{\displaystyle \frac{k}{500}}$$ にあり、斜辺は $P_{k-1}$ と $Q_k$ を結ぶ直線である。この斜辺の方程式は $y=500x-k+1$ である。したがって $T_k$ の内部条件は $${\displaystyle \frac{k-1}{500}}<x<{\displaystyle \frac{k}{500}},0<y<500x-k+1$$ である。

曲線上の点は $y=2\cdot {10}^{-nx}$ を満たす。この関数は $x$ が増えると単調に減少し、一方 $500x-k+1$ は単調に増加する。左端 $x=(k-1)\mathrm{/}500$ では斜辺の高さが0で曲線の高さは正だから、曲線はまだ三角形の内部にない。よって曲線が $T_k$ の内部を通過するための必要十分条件は、右端の直前で斜辺の高さ1を曲線が下回ることである。すなわち $2\cdot {10}^{-nk\mathrm{/}500}<1$ である。等号の場合は右上の頂点 $Q_k$ に達するだけで、内部は通過しないことに注意する。

最初に内部を通過する三角形が $T_8$ であるためには、$T_7$ は通過せず、$T_8$ は通過すればよい。したがって $$2\cdot {10}^{-7n\mathrm{/}500}\geqq 1,2\cdot {10}^{-8n\mathrm{/}500}<1$$ である。常用対数をとると $${\log }_{10}2-{\displaystyle \frac{7n}{500}}\geqq 0,{\log }_{10}2-{\displaystyle \frac{8n}{500}}<0$$ となる。したがって $$n\leqq {\displaystyle \frac{500{\log }_{10}2}{7}},n>{\displaystyle \frac{500{\log }_{10}2}{8}}$$ である。 ${\log }_{10}2=0.3010$ より $${\displaystyle \frac{500{\log }_{10}2}{7}}={\displaystyle \frac{150.5}{7}}=21.5$$ であり、$${\displaystyle \frac{500{\log }_{10}2}{8}}={\displaystyle \frac{150.5}{8}}=18.8125$$ である。$n$ は自然数なので $n=19,20,21$ である。

曲線が高さ1になる $x$ 座標を先に求める。各 $T_k$ の斜辺は左端で高さ0、右端で高さ1となるため、単調減少する曲線が初めて入る三角形は、この高さ1の通過位置を初めて右端が越える区間である。端点が内部に含まれないことまで不等号へ反映する。

曲線の高さが1になる位置を $\xi$ とすると$$2\cdot {10}^{-n\xi }=1$$だから$$\xi ={\displaystyle \frac{{\log }_{10}2}{n}}\mathrm{.}$$$T_k$ の斜辺は$$y=500x-k+1({\displaystyle \frac{k-1}{500}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{k}{500}})$$である。この区間で曲線は減少し、斜辺は増加する。従って曲線が $T_k$ の内部に入るための必要十分条件は$${\displaystyle \frac{k}{500}}>\xi$$である。等号では頂点 $Q_k$ を通るだけで、内部は通らない。

最初にこの不等式を満たす $k$ が8である条件は$${\displaystyle \frac{7}{500}}\leqq \xi <{\displaystyle \frac{8}{500}}\mathrm{.}$$$\xi ={\log }_{10}2\mathrm{/}n$ を代入すると$$7\leqq {\displaystyle \frac{500{\log }_{10}2}{n}}<8.$$${\log }_{10}2=0.3010$ より$${\displaystyle \frac{150.5}{8}}<n\leqq {\displaystyle \frac{150.5}{7}},$$すなわち$$18.8125<n\leqq \mathrm{21.5.}$$$n$ は自然数だから$$n=19,20,21.$$