大阪大学 2007年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1) 四面体 $ACFH$ 内の点は，非負の実数 $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ を用いて$$\alpha A+\beta C+\gamma F+\delta H,\alpha +\beta +\gamma +\delta =1$$と表せる。その座標は$$(x,y,z)=(\beta +\gamma ,\beta +\delta ,\gamma +\delta )$$である。

$z=t$ とすると $\gamma +\delta =t$，$\alpha +\beta =1-t$ だから$$0\leqq \beta \leqq 1-t,0\leqq \gamma \leqq t,\delta =t-\gamma \mathrm{.}$$したがって$$(x,y)=(\beta +\gamma ,\beta +t-\gamma )\mathrm{.}$$$(\beta ,\gamma )$ 平面の長方形の面積は $t(1-t)$ であり，辺方向 $(1,1),(1,-1)$ が作る平行四辺形の面積倍率は2である。よって切断面積は$$2t(1-t)\mathrm{.}$$(2) (1)の係数を逆に解くと，四面体 $ACFH$ の高さ $z=t$ の断面は$$\mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid }\leqq t,t\leqq x+y\leqq 2-t$$で表される。

四面体 $BDEG$ は，立方体の中心に関して $ACFH$ を点対称に移したものである。したがって高さ $t$ の断面は$$\mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid }\leqq 1-t,1-t\leqq x+y\leqq 1+t$$で表される。

$h=\min (t,1-t)$ とおくと，両断面の重なりは$$\mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid }\leqq h,1-h\leqq x+y\leqq 1+h$$である。ここで $u=x+y,v=x-y$ とおくと，$uv$ 平面では縦横とも長さ $2h$ の長方形になる。また $dxdy={\displaystyle \frac{1}{2}}dudv$ だから，重なりの断面積は$$2h^2=2\min (t,1-t{)}^2$$である。

よって求める体積は対称性を用いて$$2{\int }_0^{1\mathrm{/}2}2t^{2}dt=4{\left[{\displaystyle \frac{t^3}{3}}\right]}_0^{1\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{1}{6}}$$である。

共通部分は，高さ $1\mathrm{/}2$ の正方形を底面とする2個の四角錐である。

共通部分の水平断面を図形として追う。高さ $1\mathrm{/}2$ で最大の正方形となり，
上下の端では1点に縮むので，共通部分を合同な2個の四角錐として体積計算する。

(1)
高さ $z=t$ の平面は辺 $AF,AH,CF,CH$ とそれぞれ$$(t,0,t),(0,t,t),(1,1-t,t),(1-t,1,t)$$で交わる。これらは平行四辺形を作る。隣り合う2辺を $xy$ 平面へ射影したベクトルは$$(-t,t),(1-t,1-t)$$だから，切断面積は行列式の絶対値より$$\mid \mid \begin{array}{cc}-t& 1-t\\ t& 1-t\end{array}\mid \mid =2t(1-t)\mathrm{.}$$(2)
2つの四面体の共通部分は $z=1\mathrm{/}2$ に関して対称である。
この高さでは，共通断面の頂点は$$({\displaystyle \frac{1}{2}},0,{\displaystyle \frac{1}{2}}),(1,{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}}),({\displaystyle \frac{1}{2}},1,{\displaystyle \frac{1}{2}}),(0,{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$$である。これは2本の対角線がともに1の正方形だから，面積は $1\mathrm{/}2$ である。

一方，$z=0$ と $z=1$ では共通断面はそれぞれ$$({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}},0),({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}},1)$$の1点になる。各水平断面はこの正方形と相似に変化するため，共通部分は，
底面積 $1\mathrm{/}2$，高さ $1\mathrm{/}2$ の合同な四角錐2個からなる。したがって体積は$$2\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{6}}\mathrm{.}$$