大阪大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)
共有点では $x{\sin }^{2}x=x$ である。問題では $x$ 座標が正の共有点を考えるので $x>0$ であり，両辺を $x$ で割って ${\sin }^{2}x=1$ を得る。したがって $$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k\pi (k=0,1,2,\dots )$$ である。小さい順に並べると，点 $A_n$ の $x$ 座標は $$x_n={\displaystyle \frac{(2n-1)\pi }{2}}$$ である。

次に接することを示す。曲線 $y=x{\sin }^{2}x$ の導関数は $${\displaystyle \frac{d}{dx}}(x{\sin }^{2}x)={\sin }^{2}x+x\sin 2x$$ である。$x=x_n$ では ${\sin }^2{x}_n=1$ かつ $$\sin 2x_n=\sin ((2n-1)\pi )=0$$ だから，接線の傾きは $1+0=1$ である。直線 $y=x$ の傾きも1であり，しかも両者は $A_n$ で共有点をもつ。よって点 $A_n$ において曲線と直線は接している。

(2) $A_n$ の $x$ 座標を $$a={\displaystyle \frac{(2n-1)\pi }{2}}$$ とおくと，$A_{n+1}$ の $x$ 座標は $a+\pi$ である。この区間では $$x-x{\sin }^{2}x=x{\cos }^{2}x\geqq 0$$ なので，求める面積 $S_n$ は $$S_n={\int }_a^{a+\pi }x{\cos }^{2}xdx$$ である。${\cos }^{2}x=(1+\cos 2x)\mathrm{/}2$ を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_n}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_a^{a+\pi }xdx+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_a^{a+\pi }x\cos 2xdx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[{\displaystyle \frac{x^2}{4}}+{\displaystyle \frac{x\sin 2x}{4}}+{\displaystyle \frac{\cos 2x}{8}}]}_a^{a+\pi }\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $2a=(2n-1)\pi$ なので，$\sin 2a=\sin (2a+2\pi )=0$，$\cos 2a=\cos (2a+2\pi )=-1$ である。よって三角関数を含む項は上下端で打ち消し合い，$$S_n={\displaystyle \frac{(a+\pi {)}^2-a^2}{4}}={\displaystyle \frac{2a\pi +{\pi }^2}{4}}\mathrm{.}$$ $a=(2n-1)\pi \mathrm{/}2$ を代入すると $$S_n={\displaystyle \frac{(2n-1){\pi }^2+{\pi }^2}{4}}={\displaystyle \frac{n{\pi }^2}{2}}$$ である。したがって $$S_n={\displaystyle \frac{n{\pi }^2}{2}}$$ である。