大阪大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)
正方形を $A(0,1),B(0,0),C(1,0),D(1,1)$ とおく。$BP=t$ とすると，$P=(t,0)$ であり，まず $0<t<1$ である。 $Q=(1,q)$ とおく。$\mathrm{\angle }APB$ は，点 $P$ から見て左向きの水平線 $PB$ と $PA$ のなす角であるから $\tan \mathrm{\angle }APB={\displaystyle \frac{1}{t}}$ である。また $\mathrm{\angle }QPC$ は右向きの水平線 $PC$ と $PQ$ のなす角なので $$\tan \mathrm{\angle }QPC={\displaystyle \frac{q}{1-t}}$$ である。角が等しいから $${\displaystyle \frac{q}{1-t}}={\displaystyle \frac{1}{t}},q={\displaystyle \frac{1-t}{t}}$$ となる。$Q$ が辺 $CD$ 上の頂点でない点であるためには $0<q<1$ すなわち $t>{\displaystyle \frac{1}{2}}$ が必要である。

次に $R=(r,1)$ とおく。点 $Q$ で，$QC$ は下向きの垂直線，$QD$ は上向きの垂直線である。したがって $$\tan \mathrm{\angle }PQC={\displaystyle \frac{1-t}{q}}=t,$$ また $$\tan \mathrm{\angle }RQD={\displaystyle \frac{1-r}{1-q}}$$ である。角が等しいので $${\displaystyle \frac{1-r}{1-q}}=t$$ である。$q=(1-t)\mathrm{/}t$ を代入すると $$1-q=1-{\displaystyle \frac{1-t}{t}}={\displaystyle \frac{2t-1}{t}}$$ だから $$1-r=t\cdot {\displaystyle \frac{2t-1}{t}}=2t-1,r=2-2t$$ である。

最後に $S=(0,s)$ とおく。点 $R$ で，$RD$ は右向きの水平線，$RA$ は左向きの水平線である。上と同様に $$\tan \mathrm{\angle }QRD={\displaystyle \frac{1-q}{1-r}},\tan \mathrm{\angle }SRA={\displaystyle \frac{1-s}{r}}$$ である。角が等しいので $${\displaystyle \frac{1-q}{1-r}}={\displaystyle \frac{1-s}{r}}$$ である。ここで $$1-q={\displaystyle \frac{2t-1}{t}},1-r=2t-1,r=2-2t$$ だから $${\displaystyle \frac{1-q}{1-r}}={\displaystyle \frac{1}{t}}$$ となり，$${\displaystyle \frac{1-s}{r}}={\displaystyle \frac{1}{t}},s=1-{\displaystyle \frac{r}{t}}=1-{\displaystyle \frac{2-2t}{t}}=3-{\displaystyle \frac{2}{t}}$$である。$S$ が辺 $AB$ 上の頂点でない点であるためには $0<s<1$ である。すなわち $0<3-{\displaystyle \frac{2}{t}}<1$ であり，これを解いて ${\displaystyle \frac{2}{3}}<t<1$ を得る。

(2)
直線 $AP$ は $$y=1-{\displaystyle \frac{x}{t}}$$ である。また $R=(2-2t,1)$，$S=(0,3-2\mathrm{/}t)$ だから，直線 $RS$ の傾きは $${\displaystyle \frac{1-(3-2\mathrm{/}t)}{2-2t}}={\displaystyle \frac{1}{t}}$$ であり，$$y=3-{\displaystyle \frac{2}{t}}+{\displaystyle \frac{x}{t}}$$ と書ける。交点 $T$ は $$1-{\displaystyle \frac{x}{t}}=3-{\displaystyle \frac{2}{t}}+{\displaystyle \frac{x}{t}}$$ を満たすので $$x=1-t,y=2-{\displaystyle \frac{1}{t}}$$ である。したがって $$T=(1-t,2-{\displaystyle \frac{1}{t}})$$ である。

四角形 $PQRT$ の頂点をこの順に並べ，座標による面積公式を用いる。すなわち$$P=(t,0),Q=(1,{\displaystyle \frac{1-t}{t}}),R=(2-2t,1),T=(1-t,2-{\displaystyle \frac{1}{t}})$$として計算する。$${\displaystyle \frac{2}{3}}<t<1$$ ではこの順にたどる向きで正の面積が得られるので，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 2f(t)}& {\displaystyle =t\cdot {\displaystyle \frac{1-t}{t}}+1\cdot 1+(2-2t)(2-{\displaystyle \frac{1}{t}})+(1-t)\cdot 0}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -\{0\cdot 1+{\displaystyle \frac{1-t}{t}}(2-2t)+1\cdot (1-t)+(2-{\displaystyle \frac{1}{t}})t\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4(1-t)(2t-1)}{t}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって $$f(t)={\displaystyle \frac{2(1-t)(2t-1)}{t}}$$ である。

これを $f(t)=6-4t-{\displaystyle \frac{2}{t}}$ と書くと $$f^{\mathrm{\prime }}(t)=-4+{\displaystyle \frac{2}{t^2}}={\displaystyle \frac{2(1-2t^2)}{t^2}}$$ である。したがって $f^{\mathrm{\prime }}(t)=0$ となるのは $t={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$ であり，これは ${\displaystyle \frac{2}{3}},1$ に含まれる。また $f^{\mathrm{\prime }}(t)>0$ は $t<1\mathrm{/}\sqrt{2}$，$f^{\mathrm{\prime }}(t)<0$ は $t>1\mathrm{/}\sqrt{2}$ であるから，この点で最大となる。最大値は $$f\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\right)=6-4\cdot {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}-2\sqrt{2}=6-4\sqrt{2}$$ である。よって $6-4\sqrt{2}$ が最大値である。