大阪大学 2012年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $a_1=1$ を漸化式に代入すると$$a_2=\frac{1}{2+(1+1)}=\frac{1}{4}\mathrm{.}$$さらに$$a_3=\frac{2\cdot \frac{1}{4}}{2+2(\frac{1}{4}+1)}=\frac{1}{9},a_4=\frac{3\cdot \frac{1}{9}}{2+3(\frac{1}{9}+1)}=\frac{1}{16}\mathrm{.}$$したがって $$a_2=1\mathrm{/}4,a_3=1\mathrm{/}9,a_4=1\mathrm{/}16$$ である。

(2) (1)から $a_n=1\mathrm{/}{n}^2$ と予想する。$n=1$ のとき実際に $a_1=1=1\mathrm{/}{1}^2$ である。$a_n=1\mathrm{/}{n}^2$ と仮定すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_{n+1}}& {\displaystyle =\frac{n\cdot \frac{1}{n^2}}{2+n(\frac{1}{n^2}+1)}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1\mathrm{/}n}{2+1\mathrm{/}n+n}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{(n+1{)}^2}\mathrm{.}}\end{array}$$よって数学的帰納法により、すべての正の整数 $n$ について$$a_n=\frac{1}{n^2}$$である。

(3) (2)より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle m\sum _{n=m+1}^{2m}{a}_n}& {\displaystyle =m\sum _{n=m+1}^{2m}\frac{1}{n^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{m}\sum _{n=m+1}^{2m}\frac{1}{(n\mathrm{/}m{)}^2}\mathrm{.}}\end{array}$$右辺は関数 $1\mathrm{/}{x}^2$ の区間 $[1,2]$ における区分求積和であるから$$\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }m\sum _{n=m+1}^{2m}{a}_n={\int }_1^2\frac{1}{x^2}dx={[-\frac{1}{x}]}_1^2=\frac{1}{2}\mathrm{.}$$

$b_n=1\mathrm{/}{a}_n$ とおいて漸化式を分母側へ移し、$d_n=b_n-n^2$ が初項0の斉次漸化式を満たすことから一般項を確定する。極限は区分求積法を使わず、$1\mathrm{/}{n}^2$ を前後の望遠差で挟んで求める。

(1)
漸化式へ順に代入すると$$a_2=\frac{1}{4},a_3=\frac{1}{9},a_4=\frac{1}{16}\mathrm{.}$$(2)$$b_n=\frac{1}{a_n}$$とおく。漸化式の逆数をとると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle b_{n+1}}& {\displaystyle =\frac{2+n(a_n+1)}{n{a}_n}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1+\frac{2}{n})b_n+1=\frac{n+2}{n}{b}_n+1.}\end{array}$$ここで $d_n=b_n-n^2$ とおけば$$d_{n+1}=\frac{n+2}{n}{d}_n\mathrm{.}$$$d_1=b_1-1=0$ であるから、すべての $n$ で $d_n=0$ である。
したがって$$b_n=n^2,a_n=\frac{1}{n^2}\mathrm{.}$$(3)
$n\geqq 2$ に対して$$\frac{1}{n(n+1)}<\frac{1}{n^2}<\frac{1}{(n-1)n}$$である。$n=m+1,\dots ,2m$ について加えると$$\frac{1}{m+1}-\frac{1}{2m+1}<\sum _{n=m+1}^{2m}\frac{1}{n^2}<\frac{1}{m}-\frac{1}{2m}\mathrm{.}$$各辺に $m$ を掛けると、左右はいずれも $1\mathrm{/}2$ に収束する。
よって、はさみうちの原理により$$\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }m\sum _{n=m+1}^{2m}{a}_n=\frac{1}{2}\mathrm{.}$$