大阪大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

$x>0$ で $1\mathrm{/}\sqrt{x}$ は単調に減少する。

まず下から評価する。各自然数 $n$ について、区間 $[n,n+1]$ では$$\frac{1}{\sqrt{x}}\leqq \frac{1}{\sqrt{n}}$$である。したがって$${\int }_n^{n+1}\frac{dx}{\sqrt{x}}<\frac{1}{\sqrt{n}}$$である。これを $n=1,2,\dots ,40000$ について足すと$$\sum _{n=1}^{40000}\frac{1}{\sqrt{n}}>{\int }_1^{40001}\frac{dx}{\sqrt{x}}=2(\sqrt{40001}-1)>398$$となる。最後の不等号では $$\sqrt{40001}>200$$ を用いた。

次に上から評価する。$n\geqq 2$ について、区間 $[n-1,n]$ では$$\frac{1}{\sqrt{x}}\geqq \frac{1}{\sqrt{n}}$$であり、区間の内部では不等号は厳しい。したがって$$\frac{1}{\sqrt{n}}<{\int }_{n-1}^n\frac{dx}{\sqrt{x}}$$である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{n=1}^{40000}\frac{1}{\sqrt{n}}}& {\displaystyle =1+\sum _{n=2}^{40000}\frac{1}{\sqrt{n}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle <1+{\int }_1^{40000}\frac{dx}{\sqrt{x}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1+2(200-1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =399.}\end{array}$$以上より$$398<\sum _{n=1}^{40000}\frac{1}{\sqrt{n}}<399$$である。したがって整数部分は $398$ である。

定積分を使わず、各項を隣り合う平方根の差で挟む。分母を有理化すると、下側には $2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$、上側には $2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})$ が使える。和を取ると中間項が消え、398と399の間に直接挟める。

自然数 $n$ について$$2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}<\frac{1}{\sqrt{n}}$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{n=1}^{40000}\frac{1}{\sqrt{n}}}& {\displaystyle >2\sum _{n=1}^{40000}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2(\sqrt{40001}-1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle >398.}\end{array}$$一方、$n\geqq 2$ では$$\frac{1}{\sqrt{n}}<\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})$$である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{n=1}^{40000}\frac{1}{\sqrt{n}}}& {\displaystyle =1+\sum _{n=2}^{40000}\frac{1}{\sqrt{n}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle <1+2\sum _{n=2}^{40000}(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1+2(200-1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =399.}\end{array}$$したがって$$398<\sum _{n=1}^{40000}\frac{1}{\sqrt{n}}<399$$であり、整数部分は $398$ である。