大阪大学 2010年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

円 $C$ の中心を $(0,c)$、半径を $r$ とする。下側の放物線 $P_1$ 上では $x^2=4ay$ だから、円との共有点の $y$ 座標は$$y^2+(4a-2c)y+c^2-r^2=0$$を満たす。上側では $z=m-y$ とおくと $x^2=4bz$ であり、共有点の $z$ 座標は$$z^2+\{4b-2(m-c)\}z+(m-c{)}^2-r^2=0$$を満たす。

(1) 放物線と円はいずれも $y$ 軸対称である。共有点が1個だけならその点は $y$ 軸上にあり、$P_1$ とは $(0,0)$、$P_2$ とは $(0,m)$ で共有する。円は2放物線の間にあるので $0<c<m$ であり$$r=c=m-c,m=2r$$である。

下側の交点方程式に $r=c$ を代入すると$$y(y+4a-2c)=0.$$$y=0$ 以外に $y>0$ の根をもたないため $2c-4a\leqq 0$、すなわち $c\leqq 2a$ である。よって $m=2c\leqq 4a$ である。

同様に上側の交点方程式へ $r=m-c$ を代入すると$$z\{z+4b-2(m-c)\}=0.$$$z=0$ 以外に $z>0$ の根をもたないため $m-c\leqq 2b$ である。$m-c=r=m\mathrm{/}2$ より $m\leqq 4b$ である。

(2) 各放物線との2共有点は $y$ 軸に関して対称で、$x\mathrm{\ne }0$ である。円は2放物線で囲まれた領域内にあるため、共有点で曲線を横切ることはなく、2つの交点方程式はそれぞれ正の重解をもつ。

下側の交点方程式の重解は $y=c-2a>0$ であり、判別式を0とすると$$r^2=4a(c-a)\mathrm{.}$$$c-2a>0$ だから $c>2a$、したがって $r^2>4a^2$ である。同様に上側の交点方程式の重解は $z=m-c-2b>0$ であり$$r^2=4b(m-c-b),r^2>4b^2$$を得る。

2つの等式から$$c=a+\frac{r^2}{4a},m-c=b+\frac{r^2}{4b}$$である。これらを加えると$$m=a+b+\frac{r^2(a+b)}{4ab}\mathrm{.}$$ここで $r^2>4b^2$ を使えば$$m>a+b+\frac{b(a+b)}{a}=\frac{(a+b{)}^2}{a}$$であり、$(a+b{)}^2<ma$ を得る。また $r^2>4a^2$ を使えば$$m>a+b+\frac{a(a+b)}{b}=\frac{(a+b{)}^2}{b}$$であり、$(a+b{)}^2<mb$ を得る。

2つの放物線と内接する円

中心を $(0,c)$、半径を $r$ とし、共有点の高さについて2次方程式を作る。