大阪大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

与えられた等式を $$l\cdot {10}^{x-y}-nx+l\cdot {10}^{y-z}+m\cdot {10}^{x-z}=13l+36m+ny$$ と見る。これはどのような整数 $l,m,n$ に対しても成り立つので、$l,m,n$ の係数をそれぞれ比較できる。

まず $m$ の係数を比較すると ${10}^{x-z}=36$ である。次に $n$ の係数を比較すると、左辺の $n$ の係数は $-x$、右辺の $n$ の係数は $y$ であるから $-x=y$ である。さらに $l$ の係数から ${10}^{x-y}+{10}^{y-z}=13$ を得る。

ここで $y=-x$ より ${10}^{x-y}={10}^{2x}$ である。また ${10}^{x-z}=36$ と $y=-x$ を用いると $y-z=-x-z=(x-z)-2x$ であるから $${10}^{y-z}={10}^{x-z}{10}^{-2x}=\frac{36}{{10}^{2x}}$$ となる。

そこで $X={10}^{2x}$ とおく。$X>0$ であり、$l$ の係数の条件は $$X+\frac{36}{X}=13$$ となる。両辺に $X$ をかけて $X^2-13X+36=0$ である。因数分解すると $(X-4)(X-9)=0$ だから $X=4,9$ である。 $X=4$ のとき、${10}^{2x}=4$ より $$x={\log }_{10}2,y=-{\log }_{10}2$$ である。また ${10}^{x-z}=36$ より $$z=x-{\log }_{10}36={\log }_{10}2-{\log }_{10}36={\log }_{10}\frac{1}{18}$$ である。 $X=9$ のとき、同様に $$x={\log }_{10}3,y=-{\log }_{10}3$$ であり、$$z=x-{\log }_{10}36={\log }_{10}3-{\log }_{10}36={\log }_{10}\frac{1}{12}$$ である。

以上より求める組は$$({\log }_{10}2,-{\log }_{10}2,{\log }_{10}\frac{1}{18}),({\log }_{10}3,-{\log }_{10}3,{\log }_{10}\frac{1}{12})$$である。